cours du 04/05/2016 : cinématique     (répertoire)

• position d'un point qui se déplace à une vitesse constante v (depuis t₀ = 0)
  • déplacement d'un point en ligne droite : x(t) = x₀ + v (t − t₀)
    • Calcul de la vitesse : v = Δx / Δt = (x − x₀) / (t − t₀)
  • C'est l'équation d'une droite dont on connaît 1 point et le coefficient directeur :
    • équation d'une tangente : y = f '(x₀) (x − x₀) + y₀
      ou : coefficient directeur = f '(x₀) = Δy / Δx = (y − y₀) / (x − x₀)
  • déplacement d'un point sur un cercle : α(t) = α₀ + ω t
    • la position de départ x₀ est remplacée par l'angle de départ α₀
    • la vitesse v est remplacée par la vitesse de rotation : ω = Δα / Δt
• Sur une route avec les villages A(0 km) , B(50 km), C (300 km)
  A 10h, un cycliste part de B à la vitesse de 30 km/h vers C
  à midi, une voiture part de A à la vitesse de 80 km/h vers C
  question : quand et où la voiture va-t-elle rattraper le cycliste ?
  faire une estimation grahique, puis calculer le résultat exact. (temps en heure, minutes, secondes)
  formule générale : x(t) = x₀ + v (t − t₀)
  x_c = 50 + 30 (t − 10)
  x_v = 0 + 80 (t − 12)
  rattrapage : x_c = x_v
  50 + 30 (t − 10) = 80 (t − 12)
  50 + 30 t − 300 = 80 t − 960
  50 + 660 = 50 t
  t = 710 / 50 = 14,2 = 14 h 12 mn
  position : x_v = 0 + 80 (14,2 − 12) = 176 km
• Sur une route avec les villages A(0 km) , B(50 km), C (300 km)
  Deux amis veulent se retrouver pour pique-niquer
  le premier part de A (0 km) à 12 h en voiture et roule en moyenne à 80 km/h
  le deuxième part de C (300 km) à 11 h en vélo et roule en moyenne à 30 km/h
  question : quand et où vont-ils se rejoindre ?
  faire une estimation grahique, puis calculer le résultat exact. (temps en heure, minutes, secondes)
  x_c = 300 − 30 (t − 11)
  x_v = 0 + 80 (t − 12)
  rencontre : x_c = x_v
  300 − 30 (t − 11) = 80 (t − 12)
  300 − 30 t + 330 = 80 t − 960
  630 + 960 = 110 t
  1590 = 110 t
  t = 159/11 (≈ 14,45) = 14h + 5/11 h
  5/11 h = 300/11 min = 27 min + 3/11 min
  3/11 min = 180/11 s = 16 s + 4/11 s
  t = 14h + 27 min + 16 s
  lieu de la rencontre : x_v = 80 × 27/11 = 196,36 km
• Parabole : f(x) = a x² + b x + c = a (x² − S x + P)
  • Δ = b² − 4 a c
  • Sommet : S (−b/(2a) ; −Δ/(4a))
    forme canonique : f(x) = a (x − x_S)² + y_S = a [x + b/(2a)]² − Δ/(4a)
  • racines de f(x) = 0 : x = (−b ± √Δ) / (2a)
  • somme des racines : S = x₁ + x₂ = −b / a
  • produit des racines : P = x₁ × x₂ = c / a
• résoudre : 2 x² − 14 x + 24 = 0 Δ = b² − 4 a c = 196 − 4 × 2 × 24 = 196 − 192 = 4 x = (−b ± √Δ) / (2a) = (14 ± 2) / 4 = {16/4 ; 12/4} = {4 ; 3}
  trouver le sommet de la parabole f(x) = 2 x² − 14 x + 24 Δ = b² − 4 a c = 196 − 4 × 2 × 24 = 196 − 192 = 4 x_S = −b / (2a) = 14 / 4 = 7/2 y_S = −Δ / (4a) = −4 / 8 = − 1/2

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