cours du 18/05/2016 : produit scalaire     (répertoire)

• 3 formules du produit scalaire :
  • géométrique : vect(u) . vect(v) = u v cos(u,v)
  • avec les composantes : vect(u) . vect(v) = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z
  • avec les normes des vecteurs : vect(u) . vect(v) = ([vect(u) + vect(v)]² − u² − v²) / 2
• propriétés du produit scalaire : se comporte comme un produit normal (sauf les puissances)
  distributivité : A . (B + C + D) = A.B + A.C + A.D
• Théorème d'AL KASHI :
  • [vect(u) + vect(v)]² = u² + v² + 2 vect(u) . vect(v)
  • Dans un triangle ABC : (avec angle B = (ABC))
    vect(AC) = vect(AB) + vect(BC) ⇒ AC² = AB² + BC² − 2 AB . BC cos(B)
  • conséquences :
    si l'angle B < π/2 : AC² < AB² + BC²
    si l'angle B = π/2 : AC² = AB² + BC²
    si l'angle B > π/2 : AC² > AB² + BC²
• Norme d'un vecteur : u = || vect(u) || = √x² + y² + z² 
• Equation d'un cercle de centre A (x_A, y_A) et de rayon r :
  • géométrique : ensemble des points M tels que : AM = r
  • avec les composantes : AM² = r²
    (x − x_A)² + (y − y_A)² = r²
  • 2 cercles se coupent si : différence de leurs rayons < distance de leurs centres < somme de leurs rayons
• Equation d'un droite :
  • ensemble des points M tels que : vect(OM) . vect(n) = d
    cette droite est ⊥ vect(n) et est située à la distance d/n de l'origine.
  • avec les composantes : x n_x + y n_y = d
• intersection de 2 cercles :
  en soustrayant une équation de l'autre, les x² et y² disparaissent
  et il reste l'équation d'un droite : les 2 points d'intersection ∈ cette droite.
  ce qui permet d'exprimer y en fonction de x
  et de le remplacer dans une des équation de cercle : on obtient une équation du seconde degré en x

retour au menu :   cours 2015   math 1ère S   math