cours du 15/06/2016 : préparation à la terminale S     (répertoire)

• programme officiel
• rappels sur les puissances :
  x^p × x^q = x^p+q   ;   x^p / x^q = x^p−q   ;   (x^p)^q = x^{p q}
  x³ →(divisé par x)→ x² →(divisé par x)→ x¹ = x →(divisé par x)→ x⁰ = 1 →(divisé par x)→ x⁻¹ = 1/x →(divisé par x)→ x⁻² = 1/x²
  √x = x^1/2   ;   x⁻ⁿ = 1 / xⁿ   (exemples : vitesse en m/s = m.s⁻¹ ou concentration en mol/L = mol.L⁻¹)
• rappel sur les dérivées :
  • (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹   (fonctionne avec n réel quelconque)
    (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹
  • (u v)' = u' v + u v'   (c'est forcément + car u et v jouent des rôle symétriques : on peut les échanger)
    par contre : (u/v)' = (u' v − u v') / v²   (le − devant le terme avec v' car u / v = u × v⁻¹)
• limite d'une suite, limite d'une fonction : comparaison avec la dérivée x → a : f(x) → f(a)
  • f '(a) = limite de (f(x) − f(a)) / (x − a) quand x → a
    f '(a) = limite de (f(x) − f(a)) / (x − a) = limite de Δf / Δx = (df/dx)(a) où df et dx sont des infiniments petits.
      on peut poser x = a + h et faire h → 0   la limite devient : f '(a) = limite de (f(a + h) − f(a)) / h quand h → 0
  • pour les fonctions continues : limite de f(x) quand tend vers a = f(a)
    limite quand x → 0 de a x² = a
    limite quand x → ∞ de (a x + b) / (c x + d) = a / c
    limite quand x → −d/c de (a x + b) / (c x + d) = ∞
  • pour les fonctions discontinues, les limites à gauche et à droite autour de la discontinuité sont différentes (ou n'existent pas : 1/x en 0)
• intégrales / primitives : contraire de la dérivée ⇒ bien connaître ses dérivées
  • primitive de f(x) = F(x) = ∫ f(x) dx ⇔ F '(x) = f(x)
    dans les problèmes, on étudie f(x), puis on donne F(x) en demandant de vérifier de F(x) est une primitive de f(x)
    il faut vérifier que : F'(x) = f(x)
    ensuite, on demande de calculer l'aire sous la courbe f(x) entre 2 bornes.
  • exemple : primitive de f(x) = x : F(x) = ∫ x dx ⇔ F '(x) = x
      on essaie x² : (x²)' = 2 x
      en divisant par 2 : (x² / 2)' = x
    donc ∫ x dx = x² / 2
  • plus généralement : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1)
    cette formule ne marche pas pour n = −1 : ∫ dx / x = ln(x) nouvelle fonction logarithme népérien.
  • ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) = aire sous la courbe de f(x) entre x=a et x=b
• nombres complexes : i² = − 1
  i est la racine 4^ème de l'unité 1 : x⁴ = 1 possède 4 racines : {i, −1, −i, 1}
  permet de factoriser : x² + 1 = x² − i² = (x − i) (x + i)
  donc x² = − 1   a 2 solutions : x = i et x = − i
  un nombre complexe s'écrit z = a + i b ∈ C
  z² = (a + i b)² = a² + 2 i a b + i² b² = a² + 2 i a b − b² = a² − b² + 2 i a b
  (a + i b) (c + i d) = a c − b d + i (a d + b c)
  (a + i b) (a − i b) = a² − i² b² = a² + b²
  représentation grahique 2D : le vecteur OM = (x, y) est représenté par z_M = x + i y
  z = x + i y = r e^{i α} = r [ cos(α) + i sin(α) ]
  addition : z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
  multiplication : z₁ × z₂ = r₁ r₂ e^{i (α₁ + α₂)}
• 4 nouvelles fonctions :

  exponentielle : au lieu de 10x, exp(x) = ex avec e ≈ 2,71828 . . . dérivée : (ex)' = ex   donc (eu)' = u' eu ea+b = ea eb (ea)b = eab	logarithme népérien ln(x) : fonction inverse de exp(x) dérivée : (ln(x))' = 1 / x   donc (ln(u))' = u' / u ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(ab) = b ln(a)
  sin(x) : dérivée : sin(x)' = cos(x)	cos(x) : dérivée : cos(x)' = −sin(x)

• physique-chimie au lycée

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