Cours du 9 février 2017 : DM(suite, variation de fonction, valeur absolue)   [répertoire]

• suite arithmético-géométrique
  • démonstration qu'une suite n'est pas arithmétique :
    il suffit de trouver un contre-exemple : si u₁−u₀ ≠ u₂−u₁,
    alors la suite ne peut pas être arithmétique
    Remarque : s'ils étaient égaux, cela ne prouverait rien : il faudrait faire une démonstration par récurrence par exemple.
  • démonstration qu'une suite n'est pas géométrique :
    il suffit de trouver un contre-exemple : si u₁/u₀ ≠ u₂/u₁,
    alors la suite ne peut pas être géométrique
    Remarque : s'ils étaient égaux, cela ne prouverait rien : il faudrait faire une démonstration par récurrence par exemple.
  • suites arithmético-géométriques
• variation de fonction : exemple : f(x) = √x − 3
  • tant que l'on n'a pas étudié les dérivées, il faut déterminer la variation en étudiant le signe de f(b)−f(a) sachant b−a > 0
    f(b) − f(a) = √b − 3 − √a − 3
    pour éliminer les radicaux : on multiplie (le numérateur et le dénominateur) par l'expression conjuguée : (√b − 3 + √a − 3)
    f(b) − f(a) = [ b − 3 − (a − 3) ] / (√b − 3 + √a − 3) = (b − a) / (√b − 3 + √a − 3) > 0
    ici, f(x) est croissante.
• fonction avec des valeurs absolues : la fonction sera définie par morceaux.
  • cas simple : f(x) = |x| sur ] −∞ ; +∞ [ :
    domaine : ] −∞ ; 0 ] : x ≤ 0 ⇒ f(x) = −x
    domaine : [ 0 ; +∞ [ : x ≥ 0 ⇒ f(x) = x
  • cas simple : f(x) = |g(x)| sur ] −∞ ; +∞ [ :
    quand g(x) ≥ 0 : f(x) = g(x)
    quand g(x) ≤ 0 : f(x) = −g(x)
  • exemple : f(x) = |x+1| + |−2 x + 2|
    il faut étudier les signes des expressions entre | | afin de leur affecter le bon signe

    x	−∞		−1		1		+∞
    x+1	−		0	+	+	+
    −2 x + 2	+		+	+	0	−
    f(x) =	−(x+1) + (−2 x + 2)		4	+(x+1) + (−2 x + 2)	−2	+(x+1) − (−2 x + 2)
    f(x) =	−3 x + 1		4	−x + 3	−2	3 x − 1
    f(x) = 3	x = −2/3			x = 0		x = 4/3
    solution dans l'intervalle ?	à rejeter : −1<−2/3			à conserver		à conserver

    Il y a 2 solutions à |x+1| + |−2 x + 2| = 3   :   S = {0, 4/3}

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