Cours du 09 mars 2017 : dérivées   [répertoire]

• google (science de l'ingénieur 1ere s cours)
  • cours disponibles en ligne :
    • cours en ligne
      il y a une part de physique (forces, courants) et une part de logique (qui servira en programmation).
    • cours en ligne (lire les Eléments de correction téléchargeables)
      Mécanique, Multiphysique, Electricité, Numérique, Programmation
  • il y a aussi des cours vidéo : chapitre par chapitre
    • Les liaisons mécaniques - SI - 1ère - Les Bons Profs 3' minimal
    • élaboration schéma ciné 20' très clair
  • livres de cours : livre (16 €) . . .
  • Pour ton problème de vis/écrou :
    voir : cours sur les liaisons page 3/5 (liaison hélicoïdale : 1 seul degré de liberté car la translation et la rotation sont combinées)
• revoir les équations de droite :
  • droite de coefficient directeur a passant par le point A(x_A, y_A) :
    y = a (x − x_A) + y_A
  • droite passant par 2 points A(x_A, y_A) et B(x_B, y_B)
    coefficient directeur : a = Δy / Δx = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
    y = a (x − x_A) + y_A
  • tracé/lecture graphique d'une droite de coefficient directeur a et passant par le point A(x_A, y_A)
    on part du point A ; on avance de Δx, puis on monte de Δy = a Δx
  • exemple : a = 2/5 : on prend Δx = 1 et Δy = a = 2/5
    ou pour plus de précision : on prend Δx = 5 et Δy = 5 a = 2
    ou pour plus de précision : on prend Δx = 10 et Δy = 10 a = 4
• revoir les expressions conjuguées : pour éliminer les racines carrées
  • expression conjuguée de a − b : a + b   (et inversement)
    afin d'obtenir une différence de carrés par la troisième identité remarquable : (a − b) (a + b) = a² − b²
  • exemple : (√3 + √2) (√3 − √2) = 3 − 2 = 1
• les dérivées :
  • définition : dérivée de f(x) au point x=a : f '(x) = limite [f(a+h) − f(a)] / h quand h → 0
    • quand h ≠ 0 : on a le coefficient directeur d'une sécante à la courbe
      passant par les points A(a, f(a)) et B(a+h, f(a+h))
      c'est aussi le taux d'accroissement de la fonction entre a et a+h
    • quand h → 0 : c'est une forme indéterminée : 0 / 0
      il faut lever l'indétermination en simplifiant par h
  • calculs de la dérivée de f(x) au point x=a :
    • f(x) = √x
      • f '(a) = limite de (√a+h − √a) / h
      • on multiplie par l'expression conjuguée : (√a+h + √a)
        en fait on multiplie par 1 = (√a+h + √a) / (√a+h + √a) pour ne pas modifier la fonction, seulement sa forme.
      • f '(a) = limite de [ (√a+h − √a) (√a+h + √a) ] / [ h (√a+h + √a) ]
        f '(a) = limite de [ a+h − a ] / [ h (√a+h + √a) ]
        f '(a) = limite de h / [ h (√a+h + √a) ]
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de 1 / (√a+h + √a) = 1 / (√a+0 + √a) = 1 / (2 √a)
      • (√x)' = 1 / (2 √x)
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = 1/2
        √x = x^1/2 dérivée : (1/2) x^1/2−1 = (1/2) x^−1/2 = (1/2) / x^1/2 = 1 / (2 √x)
    • f(x) = x³
      • f '(a) = limite de [ (a+h)³ − a³ ] / h
        f '(a) = limite de [ a³ + 3 a²h + 3 ah² + h³ − a³ ] / h
        f '(a) = limite de [ 3 a²h + 3 ah² + h³ ] / h
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de 3 a² + 3 ah + h² = 3 a² + 0 + 0 = 3 a²
      • (x³)' = 3 x²
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = 3
    • f(x) = x²
      • f '(a) = limite de [ (a+h)² − a² ] / h
        f '(a) = limite de [ a² + 2 ah + h² − a² ] / h
        f '(a) = limite de [ 2 ah + h² ] / h
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de 2 a + h = 2 a + 0 = 2 a
      • (x²)' = 2 x
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = 2
    • f(x) = x   (c'est la droite y=x de coefficient directeur 1)
      • f '(a) = limite de [ (a+h) − a ] / h
        f '(a) = limite de h / h
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de 1 = 1
      • (x)' = 1
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = 1
    • f(x) = k   (où k est une constante : droite horizontale)
      • f '(a) = limite de [ k − k ] / h
        f '(a) = limite de 0 / h = 0
      • (k)' = 0
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = 0
    • f(x) = 1 / x
      • f '(a) = limite de [ 1/(a+h) − 1/a ] / h
        f '(a) = limite de [ a/(a(a+h)) − (a+h)/(a(a+h)) ] / h
        f '(a) = limite de [ (a − (a+h)) / (a(a+h)) ] / h
        f '(a) = limite de [ −h / (a(a+h)) ] / h
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de −1 / (a(a+h)) = −1 / a²
      • (1 / x)' = −1 / x²
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = −1
        1/x = x⁻¹ dérivée : −1 . x^{−1 − 1} = −x⁻² = −1 / x²
    • f(x) = 1 / x²
      • f '(a) = limite de [ 1/(a+h)² − 1/a² ] / h
        f '(a) = limite de [ (a² − (a+h)²) / (a²(a+h)²) ] / h
        f '(a) = limite de [ (a² − a² − 2 ah − h²) / (a²(a+h)²) ] / h
        f '(a) = limite de [ (−2 ah − h²) / (a²(a+h)²) ] / h
        simplification par h : donc levée de l'indétermination
        f '(a) = limite de (−2 a − h) / (a²(a+h)²) = (−2 a − 0) / (a²(a+0)²) = −2 a / a⁴ = −2 / a³
      • (1 / x²)' = −2 / x³
        que l'on peut retrouver avec la formule (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n = −2
        1/x² = x⁻² dérivée : −2 . x^{−2 − 1} = −2 x⁻³ = −2 / x³
  • Il n'y a donc qu'une seule formule à connaîte : (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ avec n réel quelconque

retour aux menus : cours 2016     math 1ereS     math