Cours de Math. 1^èreS DST du 18 Novembre 2015     (répertoire)
Durée 2 heures

• Exercice 1 : positions relatives des courbes associées aux fonctions : f(x) = x ; g(x) = x² ; h(x) = √x
  • on trace les courbes sur la calculatrice pour voir le résultat attendu
    on doit aussi connaître les formes de ces courbes : courbes usuelles
  • on étudie le signe de la différence δ₁(x) = g(x) − f(x) = x² − x
    pour cela on factorise l'expression : δ₁(x) = x (x − 1)
    racines 0 et 1 : δ₁(x) est du signe de a en dehors des racines et du signe de −a entre les racines.

    x	0		1	∞
    x	0	+	+	+
    x −1	−	−	0	+
    δ1(x) = g(x) − f(x)	0	−	0	+
    g(x) :: f(x)	0	g(x) < f(x)	0	g(x) > f(x)
    Cg et Cf	=	Cg au-dessous de Cf	=	Cg au-dessus de Cf

  • on étudie le signe de la différence δ₂(x) = h(x) − f(x) = √x − x
    • quand x > 0 : δ₂(x) est la différence de 2 nombres positifs
    • 1) on peut factoriser en posant : x = (√x)²
      δ₂(x) = (√x − (√x)²) = √x (1 − √x)
      pour étudier le signe de (1 − √x), on multiplie par l'expression conjuguée : (1 + √x) ≥ 1 > 0
      δ₂(x) = √x (1 − √x) (1 + √x) / (1 + √x) = √x (1 − x) / (1 + √x)

      x	0		1	∞
      √x	0	+	+	+
      1 − x	+	+	0	−
      1 + √x	+	+	+	+
      δ2(x) = h(x) − f(x)	0	+	0	−
      h(x) :: f(x)	=	h(x) > f(x)	=	h(x) < f(x)
      Ch et Cf	=	Ch au-dessus de Cf	=	Ch au-dessous de Cf

    • 2) on peut multiplier par l'expression conjuguée pour se débarasser du radical :
      δ₂(x) = (√x − x) (√x + x) / (√x + x)
      δ₂(x) = (x − x²) / (√x + x) = x (1 − x) / (√x + x)

      x	0		1	∞
      x	0	+	+	+
      1 − x	+	+	0	−
      √x + x	0	+	+	+
      δ2(x) = h(x) − f(x)	||	+	0	−
      h(x) :: f(x)	||	h(x) > f(x)	=	h(x) < f(x)
      Ch et Cf	||	Ch au-dessus de Cf	=	Ch au-dessous de Cf

      Il reste à comparer h(0) et f(0) : ils sont nuls tous les deux.
  • les 3 courbes se coupent aux points (0 ; 0) et (1 ; 1) : résumé :

    x	0		1	∞
    	f(0) = g(0) = h(0)	g(x) < f(x) < h(x)	f(1) = g(1) = h(1)	h(x) < f(x) < g(x)

• Exercice 2 : Résoudre (x² + 2 x − 63) / (2 x² − 8 x − 42) = 0
  • il faut factoriser le numérateur : Δ = b² − 4 a c = 4 + 4 × 63 = 256 = 16²
    x₁ = (− b − √Δ) / (2 a) = (− 2 − 16) / 2 = − 9
    x₂ = (− b + √Δ) / (2 a) = (− 2 + 16) / 2 = 7
  • on s'assure que le dénominateur n'est pas nul :
    pour x = − 9 : (2 x² − 8 x − 42) = (162 + 72 − 42) = 192 ≠ 0
    pour x = 7 : (2 x² − 8 x − 42) = (98 − 56 − 42) = 0 : 7 est une valeur interdite
  • il ne reste qu'une solution : { −9 }
  • remarque : limite de (x² + 2 x − 63) / (2 x² − 8 x − 42) quand x → 7 :
    on simplie par (x − 7) pour lever l'indétermination du type 0/0
    (2 x² − 8 x − 42) = 2 (x − 7) (x + 3)
    limite (x + 9) / (x + 3) = (7 + 9) / (7 + 3) = 16/10 = 8/5
    si l'on avait défini (x² + 2 x − 63) / (2 x² − 8 x − 42) par continuité, on lui aurait donné la valeur 8/5 (et non 0)
• Exercice 3 : f(x) = |2 x − 1| + x + 3
  • on découpe R en 2 domaines d'étude selon le signe de (2 x − 1) :
    • [1/2 ; ∞[ : où 2 x − 1 ≥ 0 donc f(x) = 2 x − 1 + x + 3 = 3 x + 2
      qui passe par les points : (1/2 ; 7/2=3,5) et (1 ; 5)
    • ]−∞ ; 1/2] : 2 x − 1 ≤ 0 donc f(x) = − 2 x + 1 + x + 3 = − x + 4
      qui passe par les points : (0 ; 4) et (1/2 ; 7/2=3,5)
  • f(x) = 6 :
    • remarque : on voit sur le graphique qu'il y a 2 solutions)
    • [1/2 ; ∞[ : f(x) = 3 x + 2 = 6
      x = 4/3 ∈ [1/2 ; ∞[ : première solution
    • ]−∞ ; 1/2] : f(x) = − x + 4 = 6
      x = −2 ∈ ]−∞ ; 1/2] : deuxième solution
• h(x) = (−x − 7) / (x + 2)
  • résultat attendu : −1 − 5/(x + 2)
    −1 − 5/(x + 2) = [−(x + 2) − 5] /(x + 2) = (−x − 7) / (x + 2) = h(x)
  • h(x) = −1 − 5 / u   avec u = x + 2 et u' = 1
    h'(x) = − 5 (−u'/u²) = 5/(x + 2)² > 0

    x	−∞		−2		∞
    h'(x)		+	||	+
    h(x)	−1	↑	+∞||−∞	↑	−1

  • y = 1/(x+2) →→→ affinité d'axe Ox, de direction Oy et de rapport −5 →→→ y = − 5/(x+2)
    →→→ translation de (0 ; −1) →→→ y = − 1 − 5/(x+2)
• Exercice 5 : algorithme
  • l'algorithme calcule f(x) et g(x) pour les 4 valeurs { −1, 0, 1, 2 }
    et il affiche les positions relatives de C_f et C_g
  • fonctionnement de l'algorithme :

    a	−1	0	1	2
    f(a)	−8,25	−1,25	−0,25	−5,25
    g(a)	−1,75	−0,75	0,25	1,25
    f(a) − g(a)	−6,5	−0,5	−0,5	−6,5
    sortie	Cf est en dessous de Cg	Cf est en dessous de Cg	Cf est en dessous de Cg	Cf est en dessous de Cg

  • C_f passe au-dessus de C_g entre 0 et 1
    le pas de la boucle (1) est trop grand pour le détecter.
• Exercice 6 : triangles semblables : MOP, MAB, BCP ; avec OA=AB=BC=CO=2 et AM=x
  • f(x) = OP : Thalès OP/OM = AB/AM = f(x)/(2+x) = 2/x
    f(x) = 2 (2 + x) / x
  • f(x) = (4 + 2 x) / x = 4/x + 2
  • f '(x) = − 4/x² < 0 ⇒ f(x) est décroissante (quand x augmente, OP diminue)
• Exercice 7 : f(x) = 3 √x + 1 et g(x) = 2 − x avec x ≥ 0
  • signe de : −X² − 3 X + 1
    Δ = b² − 4 a c = 9 + 4 = 13 > 0
    X₁ = (− b − √Δ) / (2 a) = (3 − √13) / (−2) = (√13 − 3 ) / 2 ≈ 0,3 > 0
    X₂ = (− b + √Δ) / (2 a) = (− 3 − √13) / 2 < 0 ( en dehors du domaine de l'étude : [ 0 ; ∞ [ )
    −X² − 3 X + 1 < 0 pour X > X₁
    −X² − 3 X + 1 > 0 pour 0 < X < X₁
  • X = √x ou bien X² = x   (X > 0)
    • position relative de C_f et C_g : h(x) = f(x) − g(x) = 3 √x + 1 − 2 + x = x + 3 √x − 1
    • en remplaçant x par X² : h(X) = X² + 3 X − 1
      C'est l'opposé du trinôme étudié à la question précédente
    • h(X) > 0 pour X > X₁ = (√13 − 3 ) / 2 ou x > x₁   (car x et X varient dans le même sens pour X > 0 puisque X² est croissante)
      x₁ = X₁² = (13 − 6 √13 + 9) / 4 = (22 − 6 √13) / 4 = (11 − 3 √13) / 2 ≈ 0,09   (> 0)
      f(x) > g(x) : C_f est au-dessus de C_g pour x > x₁
    • h(X) < 0 pour X < X₁ ou x < x₁
      f(x) < g(x) : C_f est en-dessous de C_g pour x < x₁
      f(x) = g(x) : C_f coupe C_g en x = x₁
  • vérification graphique avec la calculatrice
• Bonus : ABC : AB = 2 x − 1 ; BC = 3 x − 2 et CA = 4 x − 3
  • ABC rectangle :
    comparaison des longueurs des côtés : remarque : BC = AB + (x − 1) ; CA = AB + 2(x − 1)
    AB² = (2 x − 1)² = 4 x² − 4 x + 1
    BC² = (3 x − 2)² = 9 x² − 12 x + 4
    CA² = (4 x − 3)² = 16 x² − 24 x + 9
  • cas x − 1 > 0 soit x > 1 : AB < BC < CA
    CA² = AB² + BC²
    16 x² − 24 x + 9 = 4 x² − 4 x + 1 + 9 x² − 12 x + 4 = 13 x² − 16 x + 5
    3 x² − 8 x + 4 = 0
    Δ = 64 − 48 = 16 = 4²
    x = (8 ± 4) / 6 ∈ { 2/3 , 2 } 2/3 < 1 à rejeter il reste la solution x = 2 > 1
  • cas x − 1 < 0 soit x < 1 : AB > BC > CA
    AB² = BC² + CA²
    4 x² − 4 x + 1 = 9 x² − 12 x + 4 + 16 x² − 24 x + 9
    4 x² − 4 x + 1 = 25 x² − 36 x + 13
    21 x² − 32 x + 12 = 0
    Δ = 32² − 4 × 21 × 12 = 16 = 4²
    x = (32 ± 4) / 42 ∈ { 2/3 , 6/7 } 2 solutions correctes < 1
  • Il y a 3 solutions : { 2/3 , 6/7 , 2 }

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