Résoudre une équation f(x) = 0
- Résoudre une équation (en x) , c'est rechercher la valeur de x telle que f(x) = 0
- exemple : f(x) = 2 x + 3
- pour x = 1, f(x) = f(1) = 5 ≠ 0 : 1 n'est pas une solution de f(x) = 0
- x = −3/2, f(x) = f(−3/2) = 0 : −3/2 est une solution de f(x) = 0
- Interprétation graphique :
les solutions sont les intersections de la courbe C(y=f(x)) avec l'axe Ox (y=0)
- Premier cas : f(x) est linéaire ou affine : f(x) = a x + b
- résoudre : f(x) = a x + b = 0
- On passe le "b" à droite du signe = en ajoutant (−b) de chaque côté du signe =
OU : On passe le "b" à droite du signe = en soustrayant b de chaque côté du signe =
a x = −b
- On passe le "a" à droite du signe = en divisant par a de chaque côté du signe =
OU : On passe le "a" à droite du signe = en multipliant par (1/a) de chaque côté du signe =
x = −b / a
- Autre cas : f(x) est plus compliquée : il faut la factoriser
- car A × B = 0 <=> A = 0 ou B = 0
- factoriser permet d'obtenir plusieurs équations plus simples.
- exemple : (2 x + 3) (3 x + 5) = 0 => (2 x + 3)=0 ou (3 x + 5)=0
=> x = −3/2 ou x = −5/3
il y a 2 solutions à cette équation.
- méthodes de factorisation :
- factoriser la somme : A + B
- on recherche le facteur commun à A et B, et on le met en facteur.
- exemple : x2 + 2 x
- le facteur commun à ces 2 termes est x : on le met en facteur
- x2 + 2 x = x × x + 2 x = x ( x + 2 )
[distributivité de × par rapport à + : a(b+c) = ab+ac]
en redéveloppant, on vérifie que l'on retrouve la valeur de départ.
- x ( x + 2 ) = 0 => x = 0 OU x+2=0 => x = −2
(il y a 2 solutions)
- factorisation à l'aide des identités remarquables :
- a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2
- a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2
- a2 − b2 = (a − b) (a + b)
il n'est pas évident de voir qu'il y a un facteur (a + b)
dans l'expression a2 − b2
Mais comme a2 − b2 = 0 si a = b, c'est que (a − b) doit se mettre en facteur.
de même si a = −b, c'est que (a + b) doit se mettre en facteur.
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