Cours de Math. 1^èreS Méthodes   (répertoire)

• Résoudre une équation du second degré dans R : a x² + b x + c = 0
  • calculer Δ = b² − 4 a c
  • si Δ > 0 : 2 solutions : x₁ = (− b − √Δ) / (2 a)   et   x₂ = (− b + √Δ) / (2 a)
  • si Δ = 0 : 1 solution : x = − b / (2 a)
  • si Δ < 0 : pas de solution
• Résoudre une inéquation du second degré dans R : a x² + b x + c ≥ 0
  • calculer Δ = b² − 4 a c
  • si Δ > 0 : 2 racines : x₁ = (− b − √Δ) / (2 a)   et   x₂ = (− b + √Δ) / (2 a)
    (a x² + b x + c) est du signe de a à l'extérieur des racines   ;   nul aux racines   et   du signe de (− a) entre les racines
  • si Δ = 0 : 1 racine : x₀ = − b / (2 a)
    (a x² + b x + c) est du signe de a pour x ≠ racine   et   nul pour la racine
  • si Δ < 0 : pas de solution
    (a x² + b x + c) est du signe de a pour tout x
• Factoriser un polynôme : polynôme P(x) de degré 3 = 3 x³ − 8 x² + 4 x + 1
  • rappel : factoriser (a x² + b x + c)
    • si Δ > 0 : (a x² + b x + c) = a (x − x₁) (x − x₂)
    • si Δ = 0 : (a x² + b x + c) = a (x − x₀)²
  • Il faut trouver une racine de P(x) : l'énoncé demande de calculer P(1) : on trouve P(1) = 0
    ou bien il y a une racine évidente parmi : { −1 , 0 , 1 }
  • P(x) = (x − 1) Q(x) = (x − 1) (a x² + b x + c)
    • on développe le produit : (x − 1) (a x² + b x + c) = a x³ + (b − a) x² + (c − b) x − c
    • l'identification des 4 coefficients donne 4 équations qui se résolbent de proche en proche :
      • coefficient de x³ : 3 = a       ⇒ a = 3
      • coefficient de x² : − 8 = b − a       ⇒ b = − 8 + a = − 5
      • coefficient de x : 4 = c − b       ⇒ c = 4 + b = − 1
      • coefficient constant : 1 = − c       (cohérent : pas d'erreur)
• Tracer la représentation graphique de g = | f |
  • tracer f(x)
  • on garde les f(x) ≥ 0 : car g(x) = f(x) ≥ 0
  • on trace le symétrique des f(x) < 0 (par rapport à l'axe Ox) : car g(x) = − f(x)
  • résultat ; g(x) ≥ 0 pour tout x
  • Plus généralement : calculs avec des valeurs absolues |f(x)| : on décompose en domaines
    • f(x) ≥ 0 ⇒ |f(x)| = f(x)
    • f(x) < 0 ⇒ |f(x)| = − f(x)
• Utiliser le théorème d'encadrement (des gendarmes) :
  • limite de x sin(1/x) quand x → 0
  • − 1 ≤ sin(1/x) ≤ 1   x > 0   ⇒   − x ≤ x sin(1/x) ≤ x
    limite(− x) ≤ limite(x sin(1/x)) ≤ limite(x)
    0 ≤ limite(x sin(1/x)) ≤ 0   ⇒   limite(x sin(1/x)) = 0
  • de même pour x < 0 en changeant le sens des l'inéquation : − x ≥ x sin(1/x) ≥ x
• Examiner la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle :
  • f(x) = x sin(1/x) si x ≠ 0 et f(x) = 0 si x = 0
  • pour x ≠ 0 : f(x) est dérivable car x , sin(x) et 1/x sont dérivables
    sin(1/x) est composée de 2 fonctions dérivables est donc dérivable
    f(x) est le produit de 2 fonctions dérivables est donc dérivable
    remarque : calcul de la dérivée : f '(x) = sin(1/x) − cos(1/x) / x     (si x ≠ 0)
  • dérivabilité en 0 : on applique la définition : limite de (f(x) − f(0)) / (x − 0) quand x → 0
    pour x ≠ 0 : (f(x) − f(0)) / (x − 0) = sin(1/x)
    f '(x) = limite de sin(1/x) quand x → 0
    1/x → ∞
    sin(1/x) oscille entre −1 et 1 : il n'a pas de limite
• Résolution approchée x = α d'une équation du type f(x) = 0
  • on étudie la variation de la fonction f(x)
  • sur les intervalles où la fonction est continue et strictement monotone, on applique le TVI (Théorème des valeurs intermédiaires)
  • a < b et f(a) < 0 et f(b) > 0 ⇒ a < α < b
    ou : si f est croissante : f(α) = 0 ∈ ] f(a) ; f(b) [ ⇔ α ∈ ] a ; b [
    ou : si f est décroissante : f(α) = 0 ∈ ] f(a) ; f(b) [ ⇔ α ∈ ] b ; a [     (inversion des bornes)
  • avec la calculatrice, on calcule f(x) pour des valeurs séparées par des intervalles avec de plus en plus de décimales
    on zoome sur la courbe pour trouver un encadrement, puis on vérifie en calculant les valeurs
    exemple ]0 ; 1[ , on calcule f(x) en commençant par 0 avec un pas de 0,1 → encadrement ]0,6 ; 0,7[
        on calcule f(x) en commençant par 0,6 avec un pas de 0,01 → encadrement ]0,65 ; 0,66[
        . . . jusqu'à la précision demandée par l'énoncé
• Déterminer la nature d'une suite
  • suite arithmétique : u_n = r n + u₀   ou   r = u_n+1 − u_n constant
    croissante si r > 0   et   décroissante si r < 0
  • suite géométrique : u_n = u₀ qⁿ   ou   q = u_n+1 / u_n constant
    si u₀ et q > 0 : croissante si q > 1   et   décroissante si q < 1
• Déterminer la monotonie d'une suite
  • signe de (u_n+1 − u_n)
  • comparaison de (u_n+1 / u_n) à 1     si u_n > 0
  • si u_n = f(n) : sens de varaition de f
• Démontrer qu'une suite converge vers un réel L : limite u_n = L quand n → ∞
  • si u_n = f(n) : limite de f(n) quand n → ∞
  • la suite géométrique converge vers 0 quand sa raison q ∈ ] −1 ; 1 [
  • encadrer la suite par 2 suites convergeant vers L
• Déterminer la médiane et les quartiles d'une série v(n) (d'effectif total N)
  • classer les valeurs v(n) par ordre croissant pour obtenir les effectifs cumulés.
  • si N est pair : médiane = [ v(N/2) + v(N/2 + 1) ] / 2     (entre les 2 valeurs)
    si N est impair : médiane = v((N+1)/2)     (valeur du milieu)
  • premier quartile : Q1 telle que 25 % des donneés soient ≤ Q1
  • troisième quartile : Q3 telle que 75 % des donneés soient ≤ Q3
• Déterminer les événements à l'aide d'un arbre
• Savoir passer des coordonnées polaires aux cartésiennes et réciproquement
• Savoir construire un barycentre
• Démontrer des propriétés du cours
• Utiliser une rotation dans un exercice
  • pour prouver l'égalité de 2 longueurs, il faut trouver une rotation qui transforme l'une dans l'autre.
  • car la rotation conserve les longueurs

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