Contrôle second degré   (répertoire)

• sujet en ligne :
  contrôle du 03 octobre 2011 1ère ES
• EXERCICE 1 : représentation graphique
  • Rappel : Une fonction polynôme du second degré P est une fonction définie pour tout nombre réel x par :
    P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.
  • 1) Soit f une fonction polynôme du second degré telle que le maximum de la fonction f soit égal à 0.
    Donner l'allure de la fonction au brouillon.
    Parmi les propositions suivantes quelles sont celles qui sont exactes ?
     
  • 2) Les 4 paraboles ci-dessous, sont les courbes représentatives de quatre fonctions polynôme du second degré f1 , f2 , f3 et f4 .
    À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative :
  
  
• EXERCICE 2 : variation
  • Donner le tableau des variations de chacune des fonctions suivantes :
  • 1) f est définie sur R par f (x) = −2 x² + 8 x − 7
    
  • 2) f est définie sur R par f (x) = x² − x/2 − 3
  
  
• EXERCICE 3 : équation, inéquation :
  • Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
    a) 2⁢ x² + 3 ⁢x − 2 = 0
     
    b) 5 ⁢x² − 9 ⁢x + 3 = −4 ⁢x² + 3 ⁢x − 1
     
  • Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
    a) −6⁢ x² − x + 2 ⩽ 0
    attention à inclure les racines dans la solution : inégalité large
    attention à mettre les racines dans l'ordre croissant : x₂ < x₁
     
    b) 4⁢ x² < 8 ⁢x − 3
    attention à exclure les racines dans la solution : inégalité stricte
  
  
• EXERCICE 4 : problème :
  Une entreprise fabrique un produit « Bêta ». La production mensuelle ne peut pas dépasser 15 000 articles.
  Le coût total, exprimé en milliers d'euros, de fabrication de x milliers d'articles est modélisé par la fonction C définie sur ]0;15] par :
  C⁡(x) = 0,5⁢ x² + 0,6 ⁢x + 8,16
  La représentation graphique Γ de la fonction coût total est donnée dans l'annexe ci-dessous à rendre avec la copie.
  On admet que chaque article fabriqué est vendu au prix unitaire de 8 €.
  1) Qu'est ce qui est plus avantageux pour l'entreprise fabriquer et vendre 1 200, 4000, 12 000 articles ?
  2) On désigne par R(x) le montant en milliers d’euros de la recette mensuelle obtenue pour la vente de x milliers
  d’articles du produit « Bêta ». On a donc R(x) = 8x.
  a) Tracer dans le repère donné en annexe la courbe D représentative de la fonction recette.
  
   
  b) Par lecture graphique déterminer :
  – l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour que l’entreprise réalise un bénéfice positif ;
   
  3) On désigne par B(x) le bénéfice mensuel, en milliers d’euros, réalisé lorsque l’entreprise produit et vend x
  milliers d’articles.
  a) Montrer que le bénéfice exprimé en milliers d’euros, lorsque l’entreprise produit et vend x milliers
  d’articles, est donné par B(x) = −0,5 x² + 7,4 x − 8,16 avec x ∈ ]0; 15].
  B(x) = R(x) − C(x) = 8 x − 0,5⁢ x² − 0,6 ⁢x − 8,16 = −0,5⁢ x² + 7,4 ⁢x − 8,16
   
  b) Étudier le signe de B(x). En déduire la plage de production qui permet de réaliser un bénéfice (positif).
   
  c) Étudier les variations de la fonction B sur ]0; 15].
  En déduire le nombre d’articles qu’il faut fabriquer et vendre chaque mois pour obtenir un bénéfice
  maximal. Quel est le montant en euro, de ce bénéfice maximal ?
  rappel : B(x) = −0,5⁢ x² + 7,4 ⁢x − 8,16
  

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