Fonction Valeur absolue f(x) = |x|

• Définition :
  Domaine de définition : ℝ
  

  x	−∞		0		∞
  |x|	−x		0	x
  |x|	↘		0	↗

• symétrie :
  • fonction paire     : f(−x) = f(x) symétrique % Oy
  • y = |x| valeur absolue de x (fonction paire)
• on sait que la fonction valeur absolue |x| est croissante quand x > 0 = identité : x →| |→ x
  et qu'elle est décroissante quand x < 0 : x →| |→ −x
  en appliquant la composition des fonctions par domaines, on obtient la variation globale.
• Tracer la représentation graphique de g = | f |
  • tracer f(x)
  • on garde les f(x) ≥ 0 : car g(x) = f(x) ≥ 0
  • on trace le symétrique des f(x) < 0 (par rapport à l'axe Ox) : car g(x) = − f(x)
  • résultat ; g(x) ≥ 0 pour tout x
  • Plus généralement : calculs avec des valeurs absolues |f(x)| : on décompose en domaines
    • f(x) ≥ 0 ⇒ |f(x)| = f(x)
    • f(x) < 0 ⇒ |f(x)| = − f(x)
• valeurs absolues : |x − 2| ≥ |2 x − 1|
  • faire un tableau de signes pour les valeurs qui annulent les valeurs absolues

    x	−∞			1/2				2	∞
    x − 2	−			−	−			0	+
    2 x − 1	−			0	+			+	+
    |x − 2| ≥ |2 x − 1|	−x + 2 ≥ −2 x + 1				−x + 2 ≥ 2 x − 1				x − 2 ≥ 2 x − 1
    |x − 2| ≥ |2 x − 1|	x ≥ − 1				3 ≥ 3 x				− 1 ≥ x
    	−∞	−1		1/2		1		2	∞
    |x − 2| ≥ |2 x − 1|	Faux	V	Vrai	V	Vrai	V	Faux	F	Faux

  Solution : x appartient à [ −1 ; 1 ]
• fonction avec des valeurs absolues : la fonction sera définie par morceaux.
  • cas simple : f(x) = |x| sur ] −∞ ; +∞ [ :
    domaine : ] −∞ ; 0 ] : x ≤ 0 ⇒ f(x) = −x
    domaine : [ 0 ; +∞ [ : x ≥ 0 ⇒ f(x) = x
  • cas simple : f(x) = |g(x)| sur ] −∞ ; +∞ [ :
    quand g(x) ≥ 0 : f(x) = g(x)
    quand g(x) ≤ 0 : f(x) = −g(x)
  • exemple : f(x) = |x+1| + |−2 x + 2|
    il faut étudier les signes des expressions entre | | afin de leur affecter le bon signe

    x	−∞		−1		1		+∞
    x+1	−		0	+	+	+
    −2 x + 2	+		+	+	0	−
    f(x) =	−(x+1) + (−2 x + 2)		4	+(x+1) + (−2 x + 2)	−2	+(x+1) − (−2 x + 2)
    f(x) =	−3 x + 1		4	−x + 3	−2	3 x − 1
    f(x) = 3	x = −2/3			x = 0		x = 4/3
    solution dans l'intervalle ?	à rejeter : −1<−2/3			à conserver		à conserver

    Il y a 2 solutions à |x+1| + |−2 x + 2| = 3   :   S = {0, 4/3}

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