Cours du Mercredi 05 Janvier 2011

• Valeur absolue : |x| ( ou valeur sans le signe )
  • Si x ≥ 0 : |x| = x
  • Si x ≤ 0 : |x| = −x
  • Afin que le résultat soit toujours positif.
• Encadrements :
  • x = 3,14 à 0,08 près   <=>   x appartient à [ 3,06 ; 3,22 ]   <=>   3,06 ≤ x ≤ 3,22
  • ou encore : | x − 3,14 | ≤ 0,08
    • Recherche des x satisfaisant l'inéquation précédente.
    • Cas x − 3,14 ≥ 0 : x − 3,14 ≤ 0,08
      • x ≥ 3,14   et   x ≤ 3,14 + 0,08 = 3,22
      • Soit : 3,14 ≤ x ≤ 3,22
    • Cas x − 3,14 ≤ 0 : −(x − 3,14) ≤ 0,08
      • x ≤ 3,14   et   3,14 − 0,08 ≤ x
      • Soit : 3,06 ≤ x ≤ 3,14
    • en rassemblant les 2 cas : 3,14 ≤ x ≤ 3,22 ou 3,06 ≤ x ≤ 3,14
    • Solution : 3,06 ≤ x ≤ 3,22
• −0,5 < x < 0,5 : ( cela fait 2 inéquations car il y a 2 signes < )
  • En déduire le signe de 1 + x :
    • on ajoute 1 aux deux inéquations précédentes :
    • 1 + (−0,5) < 1 + x < 1 + 0,5
    • 0,5 < 1 + x < 1,5
    • 0 < 0,5 < 1 + x   donc : 1 + x > 0
  • En déduire le signe de 1 + 2x :
    • On multiplie les 2 inéquations par 2 ( comme 2 > 0 : les sens sont conservés )
    • 2 × (−0,5) < 2 × x < 2 × 0,5
    • −1 < 2 x < 1
    • on ajoute 1 aux deux inéquations précédentes :
    • 1 + (−1) < 1 + 2 x < 1 + 1
    • 0 < 1 + 2 x < 2
    • donc : 1 + 2 x > 0
• On a la relation : 1 &minus x < 1 / ( 1 + x ) < 1 − x + 2 x²
  Appliquer cette formule pour encadrer 1 / 1,01
  • 1 / 1,01 = 1 / ( 1 + x )   ( C'est le terme qui est encadré )
  • d'où : 1,01 = 1 + x
  •   =>   x = 1,01 − 1 = 0,01
  • x² = 0,01² = 0,0001   ( car 0,01 = 1/100 )
  • 1 &minus x = 1 − 0,01 = 0,99
  • 1 &minus x + 2 x² = 1 − 0,01 + 2 x² = 0,99 + 2 × 0,0001 = 0,9902
  • D'où : 0,99 < 1 / 1,01 < 0,9902
  • ou encore : 1 / 1,01 = 0,9901 à 0,0001 près
• Géométrie dans l'espace : intersection de 2 plans ? 3 cas possibles
  • Cas général : 2 plans se coupent selon une droite ( pour visualiser : table et cahier )
  • 2 plans parallèles ne se coupent pas
  • 2 plans confondus se coupent selon eux-mêmes ( ils sont identiques )
• intersection d'un plan et d'une droite ? 3 cas possibles
  • Cas général : un plan et une droite se coupent en un point ( pour visualiser : cahier et stylo )
  • si la droite est parallèle au plan : pas d'intersection ( ensemble vide )
  • si la droite appartient au plan : l'intersection est la droite.
• intersection de 2 droites ? 4 cas possibles
  • Cas général : 2 droites ne se coupent pas
  • Si les droites sont dans un même plan :
    • En général : les 2 droites se coupent en 1 point
    • Si les 2 droites sont parallèles, elles ne se coupent pas
    • Si les 2 droites sont confondues, elles ne coupent en elle-mêmes
• Volumes des solides :
  • Cylindre de base ayant une surface B et une hauteur H : V = B × H
  • Cône de base ayant une surface B et une hauteur H : V = (1/3) B × H
  • Boule de rayon R : V = (4/3) Π R³
• Surfaces 2d : ( surface de la base précédente )
  • triangle de base B et de hauteur H : S = (1/2) B × H
  • Disque de rayon R : S = Π R²

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