Cours du Vendredi 16 Octobre 2015     (répertoire)

• résoudre l'équation : (a+x) / (b+x) = b / a
  • 1) tout passer du même côté du signe égal afin de comparer à 0 :
    (a+x) / (b+x) − b / a = 0
  • 2) mettre les 2 fractions au même dénominateur : ici, le produit des 2 dénominateurs : a(b+x)
    a(a+x) / [a(b+x)] − b(b+x) / [a(b+x)] = 0
    [ a(a+x) − b(b+x) ] / [a(b+x)] = 0
  • Développer le numérateur : Distribuer le a dans (a+x) et distribuer (−b) dans (b+x) :
    [ a² + a x − b² − b x) ] / [a(b+x)] = 0
    [ a² − b² + x (a − b) ] / [a(b+x)] = 0
    (a − b) [ (a + b) + x ] / [a(b+x)] = 0
  • pour qu'une fraction soit nulle, il faut que son numérateur soit nul : (a + b) + x = 0
    d'où : x = −(a + b)
• résoudre l'inéquation : (a+x) / (b+x) > b / a     avec 0 < a < b
  • mêmes étapes que pour l'équation, jusqu'à : (a − b) [ (a + b) + x ] / [a(b+x)] > 0
  • signe d'un produit ou d'une fraction : faire un tableau de signes.
    valeurs qui annulent chaque facteur
    a − b < 0
    a x + b est du signe de "a" pour x > −b/a
    (a+b) + x s'annule pour x = −(a+b)
    b + x s'annule pour x = −b

    x	−∞	−(a+b)		−b	∞
    (a − b)	−	−	−	−	−
    (a+b) + x	−	0	+	+	+
    b + x	−	−	−	0	+
    (a+x) / (b+x) − b / a	−	0	+	||	−

    (a+x) / (b+x) > b / a pour x ∈ ]−(a+b) ; −b[
• Vecteurs perpendiculaires : u et v
  • u et v sont perpendiculaires si : (u+v)² = u² + v²   (Pythagore)
  • Les vecteurs sont libres (ils ne sont pas attachés à des points)
    ils peuvent être déplacés : par exemple à l'extrêmité d'un autre vecteur pour addition.
• Programmation Python : possibles :
  • programmes précédents : pythagore.py
  • vecteurs : fonctions (somme, orthogonalité/perpendicularité (Pythagore))
  • PGCD (algorithme d'Euclide) → fractions : fonctions (simplification, somme, produit)
    a = b q₀ + r₀ : les diviseurs de a et b divisent r₀
    b = r₀ q₁ + r₁ : les diviseurs de b et r₀ divisent r₁
    r₀ = r₁ q₂ + r₂ : les diviseurs de r₀ et r₁ divisent r₂
    les restent gardent toujours les diviseurs communs à a et b
    quand on arrive à un reste nul (r_n+1 = 0) : r_n−1 = r_n q_n+1
    on a trouvé tous les diviseurs communs à a et b : r_n = PGCD(a, b)
  • classes : fonctions (__init__, __str__, __add__, __mul__)

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