- 1) tracer une droite (D2) passant par A et coupant (D1) ; Soit B l'intersection de ces 2 droites.
- 2) tracer un arc de cercle de centre B et de rayon r1 allant de (D2) à (D1)
- 3) reporter cet arc de cercle de rayon r1 allant de (D2) à (D1) avec le centre A
- 4) prendre avec le compas la mesure r2 de la corde de l'arc d'angle (D2, D1)
- 5) reporter cette longueur à partir du point A
- 6) tracer la droite passant par A et par l'intersection des 2 cercles.
- 1) à partir de A, tracer une droite sur laquelle on reporte 3 segments identiques,
définissants les points A1, A2 et A3 - 2) tracer la droite (A3 B)
- 3) tracer les parallèles à la droite (A3 B) passant par A1 et A2
elles coupent le segment [AB] aux points B1 et B2 - d'après Thalès, comme les 3 segments [A A1], [A1 A2] et [A2 A3] sont égaux entre eux,
les segments correspondants [B B1], [B1 B2] et [B2 B3] sont aussi égaux entre eux.
- on trace une droite passant par A, sur laquelle on reporte 7 fois le même segment.
plutôt que de tracer une nouvelle droite, on peut utiliser la droite (AB)
le point situé à 3 segments est C1 le correspondant de C
le point situé à 7 segments est D1 le correspondant de D
on a la relation : AD1 = 7/3 AC1 - on trace la droite (C1 C)
- on trace la droite parallèle à (C1 C) passant par D1
elle coupe la droite (A C) au point D
d'après Thalès : AD/AC = AD1/AC1 = 7/3
- AD = (7/3) AC
- comme (CG) est parallèle à (DB), on applique le théorème de Thalès aux triangles AGC et ABD
donc AB/AG = BD/GC = AD/AC = 7/3
- sauf indication contraire : AB signifiera vecteur(AB)
- (A)−−−−−−−−(I)−−−−−−−−(B)
les vecteurs AI et IB ont la même longueur, la même direction et le même sens : ils sont égaux : AI = IB
par contre les vecteurs IA et IB sont opposés : IA = − AI = − IB
(ils ont la même longueur, la même direction mais des sens opposés) - cours à connaître : I milieu du segment [AB] ⇔ AI = IB
par ailleurs : AB = − BA - 1) IA + IB = − AI + IB = − IB + IB = 0
autre démonstration : comme IA = BI : IA + IB = BI + IB = BB = 0 - d'après Chasles : MA = MI + IA
- d'après Chasles : MB = MI + IB
- MA + MB = MI + IA + MI + IB ; or IA + IB = 0 d'après la première question.
donc : MA + MB = MI + MI = 2 MI - 2) Si : MA + MB = 2 MI alors :
MI + IA + MI + IB = 2 MI
en simplifiant par 2 MI, on trouve : IA + IB = 0 donc I est le milieu de [AB] - 3) comme :
- d'après la question 1 : I est le milieu de [AB] ⇒ MA + MB = 2 MI
ou : MA + MB = 2 MI si I est le milieu de [AB]
ou encore : si I est le milieu de [AB], alors : MA + MB = 2 MI
"I est le milieu de [AB]" est une condition suffisante pour que "MA + MB = 2 MI"
remarque : si I n'est pas le milieu de [AB], on ne peut pas encore dire si MA + MB = 2 MI est VRAI ou FAUX. - d'après la question 2 : MA + MB = 2 MI ⇒ I est le milieu de [AB]
équivaut à : I n'est pas le milieu de [AB] ⇒ MA + MB ≠ 2 MI- en raisonnant par l'absurde :
- "I n'est pas le milieu de [AB]" et "MA + MB = 2 MI" sont impossibles simultanément (incompatibles)
car si "MA + MB = 2 MI", alors "I est le milieu de [AB]" - I ne peut pas, à la fois, être le milieu de [AB] et ne pas être le milieu de [AB]
- donc si "I n'est pas le milieu de [AB]" alors seul "MA + MB ≠ 2 MI" est possible
"I n'est pas le milieu de [AB]" ⇒ "MA + MB ≠ 2 MI"
"I est le milieu de [AB]" est une condition nécessaire pour que "MA + MB = 2 MI" - et si "MA + MB = 2 MI", alors seul "I est le milieu de [AB]" est possible
"MA + MB = 2 MI" ⇒ "I est le milieu de [AB]"
- on en déduit que : MA + MB = 2 MI ⇔ I est le milieu de [AB]
ou : MA + MB = 2 MI si et seulement si I est le milieu de [AB]
- d'après la question 1 : I est le milieu de [AB] ⇒ MA + MB = 2 MI
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