Cours du Vendredi 27 Novembre 2015     (répertoire)

• Dans un problème : toujours répondre à la question
  Si on demande les coordonnées du point, il faut donner les 2 coordonnées du point.
• vecteurs, points et segments : ici, je remplace la flèche sur le vecteur V par vecteur(V)
  • un point M possède 2 coordonnées (x_M ; y_M), comme le vecteur(OM)
    (si O est l'origine du repère, car alors O = (0 ; 0))
  • le vecteur AB a pour coordonnées : vecteur(AB) = (x_B − x_A ; y_B − y_A)
    que l'on peut simplifier en vecteur(Δ) = (Δx ; Δy)     comme Différence (Δ = D en grec)
    orientation du vecteur(Δ) : vecteur(Δ) = Extrêmité − Origine
        où Extrêmité et Origine sont des points (avec 2 coordonnées)
  • Longueur (encore appelée la norme) d'un vecteur(V) : si vecteur(V) = (Δx ; Δy),
    on ne met pas de flèche sur le vecteur : V = √Δx² + Δy² 
• règles de calcul
  • a + (b + c) = a + b + c       l'addition est associative : les parenthèses peuvent être supprimées
    soustraction = addition de l'opposé : a − b = a + (−b) = (−b) + a
        la soustraction n'est pas associative ⇒ la remplacer par l'addition de l'opposé
  • a × (b × c) = a × b × c       la multiplication est associative : les parenthèses peuvent être supprimées
    division = multiplication par l'inverse : (a/b) / (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a d) / (b c)
        la division n'est pas associative ⇒ la remplacer par la multiplication par l'inverse
  • mélange de multiplication et d'addition :
    a × (b + c) = a × b + a × c       la multiplication est distributive par rapport à l'addition
    Mais   :   a + (b + c) = a + b + c     (associative)
    Et   :   a × (b × c) = a × b × c    (associative)
  • un signe moins devant une parenthèse se distribue comme une multiplication par (−1)
  • a − (b − c) :
    • remplacement de chaque soustraction par l'addition de l'opposé :
      a − (b − c) = a + (−1) × [ b + (− c) ]
    • distribution de (−1) dans le crochet pour supprimer le crochet :
      a + (−1) × [ b + (− c) ] = a + (−1) ×b + (−1) ×(− c)
    • on effectue les produits par (−1) :
      a + (−1) ×b + (−1) ×(− c) = a − b + c
  • √a×b = √a × √b
    en effet : si l'on élève au carré : a × b = a × b
  • ce qui n'est pas aussi simple pour √a+b
    ATTENTION : √a+b ≠ √a + √b
    car quand on élève √a + √b au carré, on obtient : a + 2 √a √b + b = a + b + 2 √ab ≠ a + b
  • (√a )² = a     car : a ≥ 0
    Mais, attention : √a²  = |a|     car : a peut être positif ou négatif
• symétries
  • une figure est symétrique par rapport à une droite si elle se replie sur elle-même quand on la plie selon la droite.
  • pour un carré, les 4 axes de symétries sont : les 2 diagonales et les 2 médianes.
• calculs à faire pour le prochain cours : (pour assimiler les règles de calcul suivantes)
  • sommes et soustractions multiples avec des parenthèses :
    1 − [ 2 − (3 − 4) ] = ?
  • produits et divisions multiples avec des parenthèses :
    1 / [ 2 / (3 / 4) ] = ?
  • identités remarquables à redémontrer :
    • (a+b)² = ?
    • (a-b)² = ?
    • (a+b)(a−b) = ?
  • opérations avec des radicaux :
    [ √3 + √2 ] × [ √3 − √2 ] = ?
    [ 2 √3 + 3 √2 ] × [ 3 √3 − 2 √2 ] = ?

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