Cours du Vendredi 11 Décembre 2015     (répertoire)

• DM : l'énoncé donne 3 informations que l'on doit transformer en 3 équations :
  • ABC isocèle de sommet A : AB = AC
  • périmètre du triangle = 16 cm : AB + AC + BC = 16
  • Aire(triangle) = (1/4) Aire(carré) : BC × AH / 2 = (1/4) BC²
  • il y a 3 équations pour 4 inconnues : AB, AC, BC, AH
    il faut donc trouver une relation supplémentaire :
    entre les côtés et AH : triangle rectangle ABH : AB² = BH² + AH²
  • pour alléger les calculs, on peut poser : a = BC et h = AH
  • relation des Aires : BC × AH / 2 = (1/4) BC²
    a h / 2 = a² / 4
    h = a / 2
  • triangle ABH : AB² = BH² + AH²
    • AB² = (a/2)² + h²
    • AB² = (a/2)² + (a/2)² = a² / 2
    • AB = a / √2
  • périmètre : AB + AC + BC = 16
    a / √2 + a / √2 + a = 16
    2 a / √2 + a = 16
    a √2 + a = 16
    a (√2 + 1) = 16
    a = 16 / (√2 + 1)
  • VERIFICATION : image du résultat : faire un carré de côté a ≈ 6,6 cm
    la base BC du triangle est un côté du carré, son sommet A est le centre du carré.
    la relation entre les Aires est alors évidente
    de même que sa hauteur h = a/2
    les côtés du triangles sont a / √2 ≈ 4,7
    vérification du périmètre : 6,6 + 4,7 + 4,7 = 16     OK
• vecteurs 2D :
  • I est le milieu de AB   ⇔   vecteur(AI) = vecteur(IB)
    comme vecteur(AB) = vecteur(AI) + vecteur(IB) = 2 vecteur(AI) = 2 vecteur(IB)
  • un quadrilatère dont les 2 diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme
  • Thalès :
    • configuration de Thalès : 2 triangles avec un sommet commun et 2 côtés portés par les mêmes droites
      triangle ABC et triangle ADE
    • si AB/AD = AC/AE   ⇒   BC // DE et BC/DE = AB/AD = AC/AE
    • si BC // DE   ⇒   AB/AD = AC/AE = BC/DE
  • surface d'un triangle = base × hauteur / 2
• vecteurs 3D :
  • soit un carré ABCDEFGH : si les arêtes ont une longueur a
    la diagonale d'une face a une longueur de a √2
    la diagonale du cube a une longueur de a √3
  • volume d'un cône = surface(base) × hauteur / 3
• géométrie 3D
  • 2 droites coplanaires sont : soit sécantes, soit parallèles ou confondues
  • une droite est perpendiculaire à un plan si elle est orthogonale à 2 droites sécantes du plan

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