Cours du Vendredi 18 Décembre 2015     (répertoire)

• géométrie dans l'espace (3D) :
  • une droite est définie par 2 points (comme en 2D)
  • un plan est défini par 3 points non alignés.
  • intersection de 2 plans = une droite
  • 2 droites qui se coupent sont coplanaires (elles définissent un plan)
• volumes :
  • V(cube) = a³
  • V(cylindre) = S(Base) × hauteur
  • V(cône) = S(Base) × hauteur / 3
• géométrie dans l'espace :
  • relire le cours : cours(île aux maths)
    • définition : point, droite, plan
    • droites : coplanaires, parallèles, non-coplanaires, perpendiculaires, orthogonales
    • plans : sécants, parallèles, perpendiculaires, perpendiculaire à une droite
  • faire les 2 exercices : 2 exercices
    (chercher les formules dans ton livre ou sur internet)
    • 1.1) aire d'un triangle ? les trois triangles AIJ, AKI, AJK sont identiques : donc IJ = JK = KI
      un triangle qui a ses trois côtés égaux est équilatéral.
      il faut savoir que la hauteur d'un triangle équilatéral est : h = a √3 / 2
      ou bien savoir le démontrer : h = a sin 60°
      S = (1/2) b h = (1/2) a (a √3 / 2) = a² √3 / 4
      avec : a = x √2
      S = x² √3 / 2
    • 1.2) AIJK est un tétraèdre car il a 4 faces (et 4 sommets)
      c'est un cône à base triangulaire.
      volume d'un cône ? V = (1/3) B h = (1/3) S(AIJ) × AK = (1/3) x² / 2 × x = x³ / 6
      remarque : il faut choisir la base et la hauteur que l'on connaît.
      remarque : c'est un résultat que l'on rencontre souvent : V = (1/6) V(parallélépipède)
    • 1.3) hauteur du cône ? V = (1/3) B h ⇒ h = 3 V / B
      h = 3 (x³ / 6) / (x² √3 / 2) = (x³ / 2) × 2 / (x² √3)
      h = x / √3
      remarque : c'est le tiers de la diagonale du cube de côté x : x √3 / 3
    • 2.1) longueurs ? Pythagore : BD² = BA² + AD² = 2 × 16 ; BD = 4 √2
      remarque : diagonale d'un carré de côté a : a √2 ; diagonale d'un cube de côté a : a √3
      DE² = DH² + HE² = 64 + 16 = 80 = 16 × 5 ; DE = 4 √5
      DE et EB sont des diagonales de rectangles égaux : ils sont égaux : EB = 4 √5 cm
    • 2.2) DE = EB : le triangle EBD est isocèle en E
    • 2.3) EO est la médiane issue du soomet d'un triangle isocèle : elle est aussi hauteur donc ⊥ la base BD
      EO² = EB² − BO² = 80 − (4 √2 / 2)²
      EO² = 80 − (2 √2)² = 80 − 8 = 72 = 36 × 2 ; EO = 6 √2
    • 2.4) volume d'une pyramide ? V = (1/3) B h (c'est un cône particulier)
      V = (1/3) × 16 × 8 = 128/3
• fonctions :
  faire les 5 exercices : 5 exercices
  • exercice 1.a) f(x) = 2 x² ; f({0 ; √2 ; −4}) = {0 ; 4 ; 32}
    1.c) 2 x² = −4 n'a pas de solution réelle.
    1.d) 2 x² = 5/4 ⇒ x² = 5/8 ⇒ x = ± √5 / (2 √2) = ± √10 / 4
  • exercice 2.a) f(x) = x² + 3 x + 1 ; {0 ; 1 ; −√3 ; 1/2} → {1 ; 5 ; 4 − 3 −√3 ; 11/4}
    2.b) x² + 3 x + 1 = 1 ⇔ x² + 3 x = 0 = x (x + 3) s'annule pour : x ∈ {0 ; −3}
  • exercice 3.a) la fonction identité est définie sur R
    3.b) 1/x n'est pas défini pour x = 0 : D(1/x) = R − {0} = R^* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; ∞[
    3.c) √x n'est pas défini pour x < 0 : D(√x) = R⁺ = [0 ; ∞[
    3.d) D(1 / √x) = R^+* = ]0 ; ∞[
  • exercice 4.a) f₁(x) = 200 + x ; f₂(x) = 100 + 1,5 x
    4.b) graphique : d1((0;200) ; (300;500)) et d2((0;100) ; (300;550)) → intersection en (200;400)
    4.c) δ(x) = f₁(x) − f₂(x) = 100 − 0,5 x

    x	−∞		200		∞
    δ(x)	+		0	−
    δ(x)	f1 est plus avantageux		0	f2 est plus avantageux

  • exercice 5.a) V = f(a) = (20 − 2 a)² × a = (400 − 80 a + 4 a²) × a = 4 a³ − 80 a² + 400 a
    5.b) a doit être > 0 dans dépasser 20/2 = 10 : seul 2,3 est dans D(f) = [0 ; 10]

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