Cours du Lundi 28 Décembre 2015     (répertoire)

• géométrie : 2 exercices
• 1.1) aire d'un triangle ? exercice à refaire en rédigeant les démonstrations
  • tout ce que l'on sait au début de l'exercice est :
    • ABCDEFGH est un cube   ⇒   tous les côtés sont égaux et tous les angles des faces sont droits.
    • AI = AJ = AK = x
    • Il faut partir de ces seules données pour démontrer les résultats.
  • les trois triangles AIJ, AKI, AJK sont identiques   ⇒   IJ = JK = KI
    un triangle qui a ses trois côtés égaux est équilatéral   ⇒   IJK est un triangle équilatéral
    (donc ses angles sont égaux à 60°, mais ce n'est pas demandé)
  • on peut calculer IJ : hypoténuse du triangle AIJ rectangle isocèle en A diagonale d'un carré de côté x :
    • pythagore : IJ² = x² + x² = 2 x²
    • IJ = x √2
    • il faut savoir que la diagonale d'un carré (de côté a) a pour longueur : a √2
  • il faut savoir que la hauteur d'un triangle équilatéral de côté a est : h = a √3 / 2
      ou bien savoir le démontrer : h = a sin 60°
  • S(IJK) = (1/2) b h = (1/2) a (a √3 / 2) = a² √3 / 4
    avec : a = x √2
    S(IJK) = x² √3 / 2
• 1.2) AIJK est un tétraèdre car il a 4 faces (et 4 sommets)
  • c'est un cône à base triangulaire (ou une pyramide à base triangulaire).
  • on choisit un base que l'on connaît et la hauteur (perpendiculaire à cette base) que l'on connaît. Sinon, faciles à calculer.
  • volume d'un cône ? V = (1/3) B h
    V(AIJK) = (1/3) S(AIJ) × AK = (1/3) (x² / 2) × x = x³ / 6
  • remarque : c'est un résultat que l'on rencontre souvent : V = (1/6) V(parallélépipède rectangle)
• 1.3) hauteur du cône ?
  • Maintenant que l'on connaît le volume (calculé avec une hauteur facile), on peut en déduire les autres hauteurs.
  • V = (1/3) B h ⇒ h = 3 V / B
  • h = 3 (x³ / 6) / (x² √3 / 2)
    on simplifie les fractions avant de continuer les calculs : on divise par 3 le numérateur et le dénominateur.
    diviser par une fraction = multiplier par la fraction inverse.
    h = (x³ / 2) × 2 / (x² √3) = (x³ × 2) / (2 x² √3)
    on divise par 2 et x² le numérateur et le dénominateur.
    h = x / √3
  • remarque : c'est le tiers de la diagonale du cube de côté x : x √3 / 3
• 2.1) longueurs ? à vérifier pour le prochain cours
• fonctions : 5 exercices à vérifier pour le prochain cours

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