Cours du Vendredi 08 Janvier 2016     (répertoire)

• exercices maison sur les fonctions :
  • Surface (ou Aire) d'un carré = a² ; surface d'un rectangle = largeur × Longueur
    carré d'une fraction : (a/b)² = a² / b²
    en particulier (√32 / 2)² = 32 / 4 = 8
  • Volume d'un cube = a³ ; volume d'un parallélépipède rectangle = l × L × h
  • fonction : antécédent x →(f)→ image y = f(x)
  • fonction croissante sur un intervalle I : ∀ a < b ∈ I ⇒ f(a) < f(b)
    définition à utiliser pour faire les démonstrations.
  • fonction décroissante sur un intervalle I : ∀ a < b ∈ I ⇒ f(a) > f(b)
    exemple : démontrer que la fonction f(x) = x² est décroissante sur ]−∞ ; 0]
    • on prend 2 valeurs quelconques a < b dans ]−∞ ; 0]   (donc a − b < 0)
    • on veut voir si f(a) < ou > f(b) pour cela, il est plus simple d'étudier le signe de leur différence.
      on étudie le signe de f(a) − f(b) = a² − b²
      si f(a) − f(b) < 0, comme a−b, alors la fonction est croissante
      si f(a) − f(b) > 0, contrairement à a−b, alors la fonction est décroissante
    • pour étudier son signe, on factorise l'expression : f(a) − f(b) = (a + b) (a − b)
      (a + b) est négatif car c'est la somme de 2 nombre négatifs
      (a − b) < 0 par hypothèse car on a pris a < b
      leur produit est positif : f(a) − f(b) > 0 est du signe contraire de a − b (< 0)
    • la fonction f(x) = x² est décroissante sur l'intervalle ]−∞ ; 0]
  • exercices pour le vendredi 15 janvier 2016 :
    • sens de variation de la fonction : f(x) = 3 x − 2 sur ℜ
    • sens de variation de la fonction : f(x) = 1 / x sur ] −∞ ; 0 [ puis sur ] 0 ; ∞ [
    • sens de variation de la fonction : f(x) = √x sur [ 0 ; ∞ [
  • langage HTML pour les pages d'un site en ligne :
    html tutorial (en anglais) mais très clair.
• géométrie : exercice 2
  Soit un point M en dehors d'un plan P et H la projection du point M sur le plan P
  le segment [MH] est le plus court segment reliant M à un point du plan P.
• 2.1) longueurs dans un parallélépipède rectangle :
  • Pythagore : BD² = BA² + AD² = 2 × 16 ; BD = 4 √2
    remarque : diagonale d'un carré de côté a : a √2 ; diagonale d'un cube de côté a : a √3
    DE² = DH² + HE² = 64 + 16 = 80 = 16 × 5 ; DE = 4 √5
    DE et EB sont des diagonales de rectangles égaux : ils sont égaux : EB = 4 √5 cm
  • 2.2) DE = EB : le triangle EBD est isocèle en E
  • 2.3) EO est la médiane issue du soomet d'un triangle isocèle : elle est aussi hauteur donc ⊥ la base BD
    EO² = EB² − BO² = 80 − (4 √2 / 2)²
    EO² = 80 − (2 √2)² = 80 − 8 = 72 = 36 × 2 ; EO = 6 √2
  • 2.4) volume d'une pyramide ? V = (1/3) B h (c'est un cône particulier)
    V = (1/3) × 16 × 8 = 128/3
• fonctions : 5 exercices
• exercice 1.a) f(x) = 2 x² ; f({0 ; √2 ; −4}) = {0 ; 4 ; 32}
  1.c) 2 x² = −4 n'a pas de solution réelle.
  1.d) 2 x² = 5/4 ⇒ x² = 5/8 ⇒ x = ± √5 / (2 √2) = ± √10 / 4
• exercice 2.a) f(x) = x² + 3 x + 1 ; {0 ; 1 ; −√3 ; 1/2} → {1 ; 5 ; 4 − 3 √3 ; 11/4}
  2.b) x² + 3 x + 1 = 1 ⇔ x² + 3 x = 0 = x (x + 3) s'annule pour : x ∈ {0 ; −3}
• exercice 3.a) la fonction identité est définie sur R
  3.b) 1/x n'est pas défini pour x = 0 : D(1/x) = R − {0} = R^* = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; ∞[
  3.c) √x n'est pas défini pour x < 0 : D(√x) = R⁺ = [0 ; ∞[
  3.d) D(1 / √x) = R^+* = ]0 ; ∞[
• exercice 4.a) f₁(x) = 200 + x ; f₂(x) = 100 + 1,5 x
  4.b) graphique : d1((0;200) ; (300;500)) et d2((0;100) ; (300;550)) → intersection en (200;400)
  4.c) δ(x) = f₁(x) − f₂(x) = 100 − 0,5 x

  x	−∞		200		∞
  δ(x)	+		0	−
  δ(x)	f1 est plus avantageux		0	f2 est plus avantageux

• exercice 5.a) V = f(a) = (20 − 2 a)² × a = (400 − 80 a + 4 a²) × a = 4 a³ − 80 a² + 400 a
  5.b) a doit être > 0 dans dépasser 20/2 = 10 : seul 2,3 est dans D(f) = [0 ; 10]

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