Cours du Vendredi 22 Janvier 2016 : variation des fonctions     (répertoire)

• Résoudre une équation ou une inéquation :
  • préalable : équations/inéquations du premier degré :
    • a x + b = 0   ⇒   x = − b / a
    • a x + b > 0   et   a > 0   ⇒   x > − b / a
      a x + b > 0   et   a < 0   ⇒   x < − b / a
  • 1) tout mettre dans le même membre pour faire une comparaison à 0
    A(x) = B(x)   ⇔   A(x) − B(x) = 0
    A(x) > B(x)   ⇔   A(x) − B(x) > 0
  • 2) factoriser en termes du premier degré
    (a x + b) × (c x + d) × . . . = 0
    mettre des fractions au même dénominateur est un factorisation.
  • 3.1) pour une équation, chaque terme nul donne une solution.
    exemple : x² − 100 = 0 devient (x − 10) × (x + 10) = 0
  • 3.2) pour une inéquation, il faut faire un tableau de signe contenant chaque terme.
• fonction croissante sur un intervalle I : ∀ a < b ∈ I ⇒ f(a) < f(b)
  définition à utiliser pour faire les démonstrations.
  a < b   ⇔   a − b < 0
  f(a) < f(b)   ⇔   f(a) − f(b) < 0
• fonction décroissante sur un intervalle I : ∀ a < b ∈ I ⇒ f(a) > f(b)
  a < b   ⇔   a − b < 0
  f(a) > f(b)   ⇔   f(a) − f(b) > 0
• exemple : démontrer que la fonction f(x) = x² est décroissante sur ]−∞ ; 0]
  • démonstration :
    • on prend 2 valeurs quelconques a < b dans ]−∞ ; 0]   (donc a − b < 0)
    • f(a) − f(b) = a² − b² = (a + b) (a − b)
    • signe du terme (a + b) : a < 0 et b < 0 ⇒ (a + b) < 0
    • signe du terme (a − b) : a − b < 0 par choix de a et b
    • donc : f(a) − f(b) > 0   (comme produit de 2 nombres négatifs)
    • l'ordre des images de a et b est inversé ⇒ x² est décroissante sur ]−∞ ; 0]
  • explications :
    • on veut voir si f(a) < ou > f(b) pour cela, il est plus simple d'étudier le signe de leur différence.
    • on étudie le signe de f(a) − f(b) = a² − b²
    • si f(a) − f(b) < 0, comme a−b, alors la fonction est croissante
      si f(a) − f(b) > 0, contrairement à a−b, alors la fonction est décroissante
    • pour étudier son signe, on factorise l'expression : f(a) − f(b) = (a + b) (a − b)
    • (a + b) est négatif car c'est la somme de 2 nombre négatifs
    • (a − b) < 0 par hypothèse car on a pris a < b
    • leur produit est positif : f(a) − f(b) > 0 est du signe contraire de a − b (< 0)
• sens de variation de la fonction : f(x) = 3 x − 2 sur ℜ
  démonstration :
  • a < b dans ℜ   ⇔   a − b < 0
  • f(a) − f(b) = (3 a − 2) − (3 b − 2) = 3 a − 2 − 3 b + 2 = 3 (a − b)
  • a − b < 0 ⇒ f(a) − f(b) = 3 (a − b) < 0
  • l'ordre a, b est préservé ⇒ la fonction f(x) = 3 x − 2 est croissante sur ℜ
• sens de variation de la fonction : f(x) = 1 / x sur ] −∞ ; 0 [ puis sur ] 0 ; ∞ [
  • intervalle ] −∞ ; 0 [ :
    • a < b dans ] −∞ ; 0 [   ⇔   a − b < 0
    • f(a) − f(b) = . . .
  • intervalle ] 0 ; ∞ [ :
    • a < b dans ] 0 ; ∞ [   ⇔   a − b < 0
    • f(a) − f(b) = . . .
• sens de variation de la fonction : f(x) = √x sur [ 0 ; ∞ [
  • a < b dans [ 0 ; ∞ [   ⇔   a − b < 0
  • f(a) − f(b) = . . .

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