Cours du Vendredi 06 mai 2016 (répertoire)
- rappel : fonction croissante : a < b ⇔ f(a) < f(b)
fonction décroissante : a < b ⇔ f(a) > f(b)
- fonction f(x) = 1/x : définie sur 2 domaines disjoints :
Df = ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; ∞[
- variation sur ]−∞ ; 0[ : décroissante
pour a < b ∈ ]−∞ ; 0[ ⇔ 1/a > 1/b ∈ ]−∞ ; 0[
- variation sur ]0 ; ∞[ : décroissante
pour a < b ∈ ]0 ; ∞[ ⇔ 1/a > 1/b ∈ ]0 ; ∞[
- résoudre 1/x < 4 : traiter les 2 domaines
x ∈ ]−∞ ; 0[ : x < 0 < 4 : toujours vrai.
x ∈ ]0 ; ∞[ : f décroissante :
1/x < 4 ∈ ]0 ; ∞[ ⇔ x > 1/4 ∈ ]0 ; ∞[
en résumé : x ∈ ]−∞ ; 0[ ∪ ]1/4 ; ∞[
A vérifier sur le graphique de 1/x
- Autre méthode plus générale : comparaison à 0 (étude de signe)
1/x < 4 ⇔ 1/x − 4 < 0
⇔ (1 − 4 x) / x < 0
tableau de signe :
| x | −∞ | |
0 | |
1/4 | | ∞ |
| x | − |
0 | + |
+ | + |
| 1 − 4 x | + |
|| | + |
0 | − |
| (1 − 4 x) / x | − |
|| | + |
0 | − |
réponse : x ∈ ]−∞ ; 0[ ∪ ]1/4 ; ∞[
- soient f(x) = 1/x et g(x) = 2 x − 1
résoudre f(x) > g(x)
- f(x) > g(x) ⇔ 1/x > 2 x − 1
- comparaison à 0 : f(x) − g(x) > 0
1/x − (2 x − 1) > 0
- distribution du signe "−" qui équivaut à × (−1)
1/x − 2 x + 1 > 0
- factorisation : mise au même dénominateur :
(1 − 2 x2 + x) / x > 0
- factorisation du numérateur : N(x) = − 2 x2 + x + 1
mise sous la forme canonique : N(x) = 1
− 2 x2 + x = 0
x (− 2 x + 1) = 0
2 solutions : x1 = 0 et x2 = 1/2
abscisse du sommet : α = (x1 + x2) / 2 = 1/4
ordonnée du sommet : β = N(1/4) = − 2 (1/4)2 + (1/4) + 1
β = − 2/16 + 1/4 + 1 = − 1/8 + 1/4 + 1 = (−1 + 2 + 8) / 8 = 9/8
forme canonique : y = − 2 (x − α)2 + β
- factorisation du numérateur :
identité remarquable : a2 − b2 = (a − b) (a + b)
N(x) = [√β − √2 (x − α)]
[√β + √2 (x − α)]
racine n°1 : √β − √2 (x − α) = 0
− √2 (x − α) = − √β
√2 (x − 1/4) = √9/8
√2 (x − 1/4) = 3 / (2 √2)
x − 1/4 = 3 / 4
x1 = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 (c'était une racine évidente)
racine n°2 : √β + √2 (x − α) = 0
√2 (x − α) = − √β
√2 (x − 1/4) = − √9/8
√2 (x − 1/4) = − 3 / (2 √2)
x − 1/4 = − 3 / 4
x2 = 1/4 − 3 / 4 = − 2/4 = − 1/2
N(x) = [√9/8 − √2 (x − 1/4)]
[√9/8 + √2 (x − 1/4)]
f(x) − g(x) = N(x) / x
- tableau de signes :
| x | −∞ | |
−1/2 | |
0 | |
1 | | ∞ |
| x | − |
− | − |
0 | + |
+ | + |
| √9/8 − √2 (x − 1/4) |
+ |
+ | + |
|| | + |
0 | − |
| √9/8 + √2 (x − 1/4) |
− |
0 | + |
|| | + |
+ | + |
| f(x) − g(x) | + |
0 | − |
|| | + |
0 | − |
réponse : f(x) > g(x) pour x ∈ ]−∞ ; −1/2[ ∪ ]0 ; 1[
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