Cours du Vendredi 13 mai 2016     (répertoire)

• intervalles ouverts et fermés :
  • intervalle ouvert : ne contient pas ses bornes
    exemple : f(x) = 1/√(1−x) (x−2)
    défini si 1 < x < 2
    soit : D_f = ] 1 ; 2 [
  • intervalle fermé : contient ses bornes
    exemple : g(x) = √(1−x) (x−2)
    défini si 1 ≤ x ≤ 2 ⇔ D_g = [ 1 ; 2 ]
  • Mnémotechnie :
    [a ; b] = fermé : [a-------b] = boîte contenant tout l'intervalle [a;b]
    ]a ; b[ = ouvert : a]-------[b
    on peut penser ] et [ comme des couvercles : bien mis [a ; b], ils empêchent a et b de sortir
        mal mis ]a ; b[, a et b sortent
• équation d'une droite (D) passant poar 2 points A (x₁ ; y₁), B (x₂ ; y₂)
  • on écrit que A et B ∈ (D) : droite de la forme y = a x + b
    A ∈ (D) : y₁ = a x₁ + b
    B ∈ (D) : y₂ = a x₂ + b
    par différence : (y₂ − y₁) = a (x₂ − x₁)
  • donc : a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = Δy / Δx
    pour a : soit on connaît la formule, soit on la retrouve par combinaison.
  • pour b, on peut substituer a dans une des 2 formules
    mais la méthode de combinaison est plus efficace :
    y₁ = a x₁ + b || × (−x₂)
    y₂ = a x₂ + b || × x₁
    (x₁ y₂ − x₂ y₁) = b (x₁ − x₂)
    b = (x₁ y₂ − x₂ y₁) / (x₁ − x₂)
  • quand a est connu, on peut appliquer la formule : y = a (x − x₁) + y₁
    qui traduit A ∈ (D) : en effet quand x = x₁, on a bien y = y₁
• fonction trinôme du second degré : f(x) = a x² + b x + c
  • forme canonique : f(x) = a (x − α)² + β
    où (α ; β) est le sommet de la parabole.
  • factorisation par l'indentité remarquable si a et β sont de signes contraires
  • si a et β ont le même signe, il n'y a pas de racines (pas factorisable)
    si a et β > 0 : a (x − α)² + β > 0 toujours ∀ x     (la parabole est entièrement au-dessus de l'axe Ox)
    si a et β < 0 : a (x − α)² + β < 0 toujours ∀ x     (la parabole est entièrement au-dessous de l'axe Ox)
• fonction homographique : f(x) = (a x + b) /( c x + d)     (avec c ≠ 0)
  • D_f = ]−∞ ; −d/c[ ∪ ]−d/c ; ∞[ = R − {−d/c}
  • forme canonique : f(x) = A / (x − α) + β
    où (α ; β) est le centre de symétrie de l'hyperbole.
  • f(x) = [(a/c) x + (b/c)] /[x + (d/c)]
    forme canonique : f(x) = [A + β (x − α)] / (x − α) = [β x + (A − α β)] / (x − α)
    identification des coefficients :
    α = − d / c
    β = a / c
    A = b/c + α β = b/c − ad/c² = (bc − ad) / c²
    forme canonique : f(x) = [(bc − ad) / c²] / (x + d / c) + a / c = (bc − ad) / (c² x + c d) + a / c

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