Devoir Commun Janson 24 mars 2013   (répertoire)

• Devoir Commun 2 heures :   sujet
  Corrigés (bien rédigés) :   exercice 1   exercice 2   exercice 3   exercice 4  
• Exercice 1 :
  • 1.1) x² = x → FAUX
    On passe tout à gauche pour comparer à 0 : x² − x = 0
    On factorise : x (x − 1) = 0
    2 solutions : x = 0 et x = 1
  • 1.2.a) f([2;8]) = [−6;12] → FAUX
  • 1.2.b) f([−6;3]) = [−6;0] → VRAI
  • 1.2.c) f(x) ≤ 0 alors x peut être > 3 car f(3) = −6 → FAUX
• Exercice 2 : A(−3 ; −2) ; B(−1 ; 2) ; C(3 ; 3) ; D(1 ; −1)
  • 2.1) parallélogramme ⇔ vecteur(AB) = vecteur(DC)
    vecteur(AB) = (−1 − (−3) ; 2 − (−2)) = (2 ; 4)
    vecteur(DC) = (3 − 1 ; 3 − (−1)) = (2 ; 4)
  • 2.2) AB = √4 + 16 = √20 = 2 √5
    BC = √1 + 16 = √17
    périmètre = 2 (2 √5 + √17) = 4 √5 + 2 √17
  • 2.3) vecteur(CE) = E − C = vecteur(AD)
    E = C + vecteur(AD) = (3 + 1 − (−3) ; 3 + −1 − (−2)) = (7 ; 4)
    vecteur(BD) = 2 vecteur(BF) ⇔ vecteur(BD) / 2 = F − B
    F = B + vecteur(BD) / 2 = (−1 + (1 − (−1))/2 ; 2 + (−1 − 2)/2) = (0 ; 1/2)
    vecteur(FC) = (3 − 0 ; 3 − 1/2) = (3 ; 5/2)
    vecteur(DE) = (7 − 1 ; 4 − (−1)) = (6 ; 5) = 2 vecteur(FC)
    donc (FC) est parallèle à (DE)
  • 2.4) vecteur(BC) = (3 − (−1) ; 3 − 2) = (4 ; 1)
    y = (1/4) x + b   au point B : 2 = (1/4) (−1) + b ⇒ b = 9/4
    (BC) : y = (1/4) x + (9/4)
  • 2.5) y = −(1/3) x − 3
    intgersection avec (BC) : on multiplie par les dénominateurs
    4 y = x + 9
    3 y = − x − 9
    7 y = 0 ⇒ y = 0
    x = − 9   intersection (−9 ; 0)
• Exercice 3 :
  • 3.A.1) D_f = [−3 ; 2,5]
  • 3.A.2) f⁻¹(75) = { x₁ ; x₂ }   0,25 ≤ x₁ ≤ 0,75 et 2 ≤ x₂ ≤ 2,5
  • 3.A.2) f(−1,5) ≈ 325
  • 3.A.4) variation de f(x) :

    x	−3		−2		1,5		2,5
    x	243	croissante	343	décroissante	0	croissante	100

  • 3.B.1) a = (75 − 350) / (3 − (−2,5)) = − 275 / 5,5 = − 550 / 11 = −50
    (3;75) ∈ C_g : 75 = − 50 × 3 + b ⇒ b = 75 + 150 = 225
    y = −50 x + 225
  • 3.B.2) g(x_E) = −50 × 2,5 + 225 = 100 = y_E   donc E ∈ C_g
  • 3.B.3)
  • 3.B.4) f(x) = g(x) : E ; (−1 ; 275) ; (−2,25 ; 337,5)
  • 3.B.5) f(x) < g(x)
    f(−2) = 343 et g(−2) = 325   donc : f(−2) > g(−2)
    −2 n'est pas solution de f(x) < g(x)
• Exercice 4 : y = −(1/3) x + 4
  • 4.1) x = 0 ⇒ y = 4   ;   y = 0 ⇒ x = 12
    (0 ; 4) et (12 ; 0) (que l'on peut vérifier sur le graphique)
  • 4.2) M(x ; −(1/3) x + 4)
    OB = OA : −(1/3) x + 4 = x ⇔ (4/3) x = 4 ⇔ x = 3 alors Aire = 3² = 9
  • 4.3) f(x) = OB × OA = (−(1/3) x + 4) x
    parabole orientée vers le bas symétrique par rapport à l'axe passant par le sommet.

    x	0		6		12
    f(x)	0	croissant	12	décroissant	0

    maximum : f(x) = 0 pour x = 0 et x = 12 donc le maximum est en x = (0 + 12)/2 = 6
    l'aire maximale = (−(1/3) × 6 + 4) × 6 = 12
  • 4.4.a) Aire ≥ 9 ⇔ x ∈ [3 ; 9]
    4.4.b) f(x) − 9 = (−(1/3) x² + 4 x − 9
    −(1/3) [(x −6)² − 9] = −(1/3) [x² −12 x + 36 − 9] = −(1/3) [x² −12 x + 27] = −(1/3) x² + 4 x − 9 = f(x) − 9
    4.4.c) f(x) − 9 ≥ 0 ⇔ −(1/3) [(x −6)² − 9] ≥ 0
    (x −6)² − 9 ≤ 0
    [x −6 − 3] [x −6 + 3] ≤ 0
    [x − 9] [x − 3] ≤ 0

    x	0		3		9		12
    [x − 9]	−				0	+
    [x − 3]	−		0	+
    [x − 9] [x − 3]	+		0	−	0	+
    f(x) − 9	−		0	+	0	−

    f(x) − 9 ≥ 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 9

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