Statistiques de seconde : (échantillonnage)   (répertoire)

• On part d'une population infinie comportant un caractère qui est Vrai ou Faux
  • Lancers d'une pièce de monnaie : Pile = VRAI (1) ; face = FAUX (0)
    P(Pile) = P(Face) = 1/2 si la pièce est équilibrée.
  • Taille ≥ 1,80 m = VRAI (1) ; taille < 1,80 m = FAUX (0)
    la population n'étant pas infinie, il faut effectuer des tirages avec remise pour garder la probabilité constante.
  • Tirage de boules Blanches (0) et Noires (1) dans une urne avec remise.
    P(boule Blanche) = Nombre(boules Blanches) / Nombre total de boules   (constant)
    P(boule Noire) = Nombre(boules Noires) / Nombre total de boules   (constant)
• Loi de probabilité B(p) de la population (B comme Bernoulli) :

  x	0	1	(valeurs possibles pour X)
  P(X = x)	1 − p	p	(Σ P = 1)

• On extrait un échantillon de taille n : que peut-on dire de ce caractère dans la population si l'on ne connaît pas p ?
  • n = 1 : (on ne choisit qu'un individu au hasard)
    le résultat est 0 ou 1
    Si le résultat est 0, il y a plus de chance que p soit < 1/2
    Si le résultat est 1, il y a plus de chance que p soit > 1/2
    mais combien "plus" ? pour cela, il faut choisir plusieurs individus
  • n = 2 : loi de probabilité B(2, p) (B comme Binomiale)

    x	00	01	11	(valeurs possibles pour X)
    P(X = x)	(1 − p)2	2 p (1 − p)	p2	(Σ P = 1)

  • n = 3 : loi de probabilité B(3, p)

    x	000	001	011	111	(valeurs possibles pour X)
    P(X = x)	(1 − p)3	3 p (1 − p)2	3 p2 (1 − p)	p3	(Σ P = 1)

  • n = 4 : loi de probabilité B(4, p)

    x	0000	0001	0011	0111	1111	(valeurs possibles pour X)
    P(X = x)	(1 − p)4	4 p (1 − p)3	6 p2 (1 − p)2	4 p3 (1 − p)	p4	(Σ P = 1)

• Comment trouver les coefficients ? triangle de Pascal
  • nombre de combinaisons possibles pour : k boules Noires et (n−k) boules Blanches

    k parmi n	(k = 0)	(k = 1)	(k = 2)	(k = 3)	(k = 4)	(k = 5)
    (n = 1)	1	1
    (n = 2)	1	2	1
    (n = 3)	1	3	3	1
    (n = 4)	1	4	6	4	1
    (n = 5)	1	5	10	10	5	1

    exemple : ligne n=4, colonne k=2 : NNBB, NBNB, NBBN, BNNB, BBNB, BBBN (6 cas possibles)
  • comment obtenir la ligne suivante ? par exemple la case (n=5, k=2) = 2 boules Noires et 3 boules Blanches
    • on prend les 4 différents cas possibles de la case (n=4, k=1) : NBBB, BNBB, BBNB, BBBN auxquels on ajoute une boule Noire à la fin (k : 1→2)
      On obtient : NBBBN, BNBBN, BBNBN, BBBNN
    • on prend les 6 différents cas possibles de la case (n=4, k=2) auxquels on ajoute une boule Blanche à la fin (k : 2→2)
      On obtient : NNBBB, NBNBB, NBBNB, BNNBB, BBNBB, BBBNB
    • on obtient ainsi les 10 différents cas possibles pour 2 boules Noires parmi 5 boules (dont 3 Blanches).
      d'où la règle de construction du triangle de Pascal :
      (k parmi n) = (k−1 parmi n−1) + (k parmi n−1)
  • configurations possibles : k boules Noires et (n−k) boules Blanches

    k parmi n	(k = 0)	(k = 1)	(k = 2)	(k = 3)	(k = 4)	(k = 5)
    (n = 1)	●	●
    (n = 2)	●●	●● | ●●	●●
    (n = 3)	●●●	●●● | ●●● | ●●●	●●● | ●●● | ●●●	●●●
    (n = 4)	●●●●	●●●● | ●●●● | ●●●● | ●●●●	●●●● | ●●●● | ●●●● | ●●●● | ●●●● | ●●●●	●●●● | ●●●● | ●●●● | ●●●●	●●●●
    (n = 5)	●●●●●	●●●●● | ●●●●● | ●●●●● ●●●●● | ●●●●●	●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●●	●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●● | ●●●●●	. . .	●●●●●

• Exemple : respect de la parité dans les entreprises (Intervalle de Fluctation)
  Pour vérifier la valeur de p dans une population à partir d'un échantillon
  p = 0,5 : loi de Bernoulli B(p) de la population de l'entreprise.
  σ² = p (1−p) / n   ;   I_{f 95%} = [ p − 1,96 σ ; p + 1,96 σ ]

  Entreprise A	Entreprise B
  43 femmes / 100	1150 femmes / 2500
  f = 0,43	f = 0,46	fréquence mesurée (de l'échantillon)
  IC = [0,4 ; 0,6]	IC = [0,48 ; 0,52]	avec p=0,5
  parité OK	parité non respectée	f ∉ IC

• Exemple : Vote (Intervalle de Confiance)
  Pour estimer la valeur de p dans une population à partir d'un échantillon
  σ² = f (1−f) / n   ;   I_{c 95%} = [ f − 1,96 σ ; f + 1,96 σ ]
  42 votent pour A / 98 : f(échantillon) = 0,43
  IC = [0,33 ; 0,53]
  nouveau sondage : 565 votent A / 1000 : f(échantillon) = 0,565
  IC = [0,53 ; 0,60]

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