Etude de fonction 
cours(costantini)
étude de fonctions usuelles(costantini)

 1) Domaine de définition : 
domaine definition(ilemaths)

Quand on étudie une fonction, la première chose à vérifier est qu'elle existe.
Le domaine de définition est l'ensemble des x pour lesquels la fonction existe.
 
Une fonction f(x) est définie au point x si on peut la calculer (si elle a une valeur réelle finie).
Au niveau de la seconde, il y a 2 cas où f(x) n'est pas définie :
1) f(x) est infinie parce que l'on divise par 0 :
f(x) = 1/x n'est pas définie en x=0 car f(0) = 1/0 = infini
2) f(x) n'est pas réelle parce que l'on prend la racine carrée d'un nombre < 0 :
f(x) = sqrt(x) n'est pas définie pour x < 0 car f(x) n'existe pas.
 3) il y a d'autres fonctions comme la fonction inverse de cos :
   f(x)=(cos^-1)(x) n'est défini que pour x dans [-1;+1] 

autres cas plus généraux :
f(x) = (3x-1)/(2x+5) n'est pas définie en x=-5/2 (car 2x+5=0)
son domaine de définition est D = ]-infini,-5/2[ U ]-5/2,+infini[ ou R-{-5/2}

f(x) = x + sqrt(x^2-1) n'est pas définie pour -1 < x < 1 (car x^2-1 < 0)
son domaine de définition est D = ]-infini,-1] U [1,+infini[
remarque : x=1 fait partie du domaine de définition : sqrt(0) = 0


 2) Symétries des fonctions : 
parite(ilemaths)
Quand une fonction est symétrique, il suffit d'en étudier complètement qu'une moitié,
la seconde moitié pouvant se déduire facilement de la première moitié.

Pour trouver la parité d'une fonction,
il faut calculer f(x) et f(-x) et les comparer.

fonctions paires : f(-x) = f(x) la fonction est symétrique par rapport à l'axe Oy
Le point M1=(x1,y1) ---> M2=(-x1,y1)
car (x1,y1=f(x1)) ---> (x2=-x1,y2=f(-x1)=y1)

fonctions impaires : f(-x) = -f(x) la fonction est symétrique par rapport à l'origine O
Le point M1=(x1,y1) ---> M2=(-x1,-y1)
car (x1,y1=f(x1)) ---> (x2=-x1,y2=f(-x1)=-y1)

 3) Sens de variation des fonctions (croissance ou décroissance) : 
sens_de_variation(ilemaths)

Pour étudier la variation d'une fonction,
il faut étudier le signe de f(a)-f(b) sachant que a-b<0
Pour étudier le signe de l'expression f(a)-f(b), il faut la factoriser.
Et regarder sur la courbe dans quels domaines elle est croissante ou décroissante
afin de le démontrer ensuite.
 remarque cela revient à étudier le signe de la pente : p = (f(b)-f(a))/(b-a)
    si p > 0 : la fonction est croissante,
    si p < 0 : la fonction est decroissante 

Une fonction croît si elle "monte" (de la gauche vers la droite)
soit : si a < b => f(a) < f(b)

Une fonction décroît si elle "descend" (de la gauche vers la droite)
soit : si a < b => f(a) > f(b)

Une fonction est constante si elle "ne bouge pas"
soit : si a < b => f(a) = f(b)

Les fonctions sont croissantes, décroissantes ou constantes par intervalles.

par exemple : f(x) = x^2 : est décroissante pour x < 0 et croissante pour x > 0
signe de a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
or on prend a-b<0
si (a < b) < 0 : a^2 - b^2 > 0 la fonction est décroissante sur ]-infini,0[
so 0 < (a < b) : a^2 - b^2 < 0 la fonction est croissante   sur ]0,+infini[
remarque en x=0 : x^2 n'est ni croissante, ni décroissante, ni constante.

factorisation de a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)
factorisation de a^4 - b^4 = (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
remarque pour étudier le signe de l'expression sqrt(a) - sqrt(b) :
on la transforme en : sqrt(a) - sqrt(b) = (a-b)/(sqrt(a)+sqrt(b))


 4) Quelques fonctions utiles à connaître : 

fonctions(ilemaths)