Seconde Paraboles     (répertoire)

• Equation générale d'une parabole : y = f(x) = a x² + b x + c
  forme de la parabole :
  • si a > 0 : forme en ∪ (branches infinies dirigées vers le haut)
  • si a < 0 : forme en ∩ (branches infinies dirigées vers le bas)
• La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet
  • intersection avec la droite horizontale : y = c   équation à résoudre : a x² + b x = 0
    factorisation de x : x ( a x + b ) = 0     (vérification en redéveloppant)
    2 solutions : x₁ = 0   et   x₂ = −b / a
    premier point (0 ; c) ; second point (−b/a ; c)
  • le sommet est sur l'axe de symétrie, à la moyenne des 2 solutions : α = (x₁ + x₂) / 2 = −b / (2 a)
    ordonnée correspondante : β = f(α) = a [−b / (2 a))² + b [−b / (2 a)] + c
    β = a b² / (4 a²) − b² / (2 a) + c = b² / (4 a) − b² / (2 a) + c
    dénominateur commun : 4 a
    β = b² / (4 a) − 2 b² / (4 a) + 4 a c / (4 a) = (− b² + 4 a c) / (4 a)
• intersection avec l'axe des x (y = 0) : f(x) = a x² + b x + c = 0
  • si a > 0 (parabole ∪) elle coupe l'axe Ox si son sommet est en β < 0
    (− b² + 4 a c) / (4 a) < 0   ⇒   b² − 4 a c > 0
  • si a < 0 (parabole ∩) elle coupe l'axe Ox sison sommet est en β > 0
    (− b² + 4 a c) / (4 a) > 0   ⇒   b² − 4 a c > 0
• pour plus tard : on pose Δ = b² − 4 a c ; alors ; β = −Δ / (4 a)
  Coordonnées du sommet : α = −b / (2 a) et β = −Δ / (4 a)
• Forme canonique : f(x) = a (x − α)² + β
  autre présentation possible : y − β = a (x − α)²
  soit Y = a X² dans le repère d'origine (α ; β)
  la parabole "y = a x² + b x + c" est obtenue par la translation de la parabole "y = a x²" du vecteur (α ; β)
• exercices : google(exercices parabole seconde)
  QCM
  parabole et graphique
  équation second degré
  Janson de Sailly contrôles 2^nde
    contrôles seconde paraboles + . . .

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