Statistiques de seconde : (Moyenne et écart-type)   (répertoire)

• Définition de la moyenne (ou espérance) de x : E(X) = x_moy = ( x₁ + x₂ + ... + x_n ) / N
  ou bien, s'il y a des effectifs : x_moy = ( n₁ x₁ + n₂ x₂ + ... + n_n x_n ) / N
  avec N = n₁ + n₂ + ... + n_n.
• Définition de l'écart-type σ (sigma) : le carré de l'écart-type est la moyenne des carrés des écarts.
  σ² = { (x₁−x_moy)² + (x₂−x_moy)² + . . . + (x_n−x_moy)² } / N
  puis : σ = √σ² 
  ou bien, s'il y a des effectifs : d'où : σ² = { n₁ (x₁−x_moy)² + n₂ (x₂−x_moy)² + . . . + n_n (x_n−x_moy)² } / N
• remarque : La moyenne est telle que les écarts algébriques à la moyenne (x_i−x_moy) positifs et négatifs se compensent :
  (x₁−x_moy) + (x₂−x_moy) + . . . + (x_n−x_moy) = x₁ + x₂ + . . . + x_n − N x_moy = 0
  car : x_moy = ( x₁ + x₂ + . . . + x_n ) / N
  Mais cela ne donne pas d'indication sur la dispersion des valeurs :
  un élève peut avoir toujours la même note 12 : il est régulier et fiable il est sûr d'avoir son examen
  un autre élève qui a la même moyenne peut avoir des notes dispersées (6 ; 18) : il est irrégulier, il peut très bien rater son examen ou le réussir brillamment.
• Cette information sur la dispersion des valeurs est données par l'écart-type.
  Pour cumuler les écarts positifs et négatifs sans qu'ils s'annulent,
  on les élève au carré d'où la formule : écart-type σ,
  N σ² = (x₁−x_moy)² + (x₂−x_moy)² + ... + (x_n−x_moy)²
  à gauche σ est au carré pour une question d'unités.
  si l'on calcule un écart sur des longueurs x_i en mètres,
  il faut avoir un écart-type σ en mètres et non en mètres carrés.
  remarque : (x₁−x_moy)² + (x₂−x_moy)² + ... + (x_n−x_moy)² s'appelle la variance : V(X) = σ²
• Comparer les 2 définitions de x_moy et σ² :

  N xmoy	=	x1	+	x2	+	. . .	+	xn	=	Σ xi
  N σ2	=	(x1−xmoy)2	+	(x2−xmoy)2	+	. . .	+	(xn−xmoy)2	=	Σ (xi−xmoy)2

• Calcul à la main (méthode 1) :
  présenter les valeurs sous forme de tableaux (n classes) :

  valeur	effectif	Σ xi	écart	écart au carré	Σ (xi−xmoy)2
  x1	n1	n1 x1	x1−xmoy	(x1−xmoy)2	n1 (x1−xmoy)2
  x2	n2	n2 x2	x2−xmoy	(x2−xmoy)2	n2 (x2−xmoy)2
  . . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
  xn	nn	nn xn	xn−xmoy	(xn−xmoy)2	nn (xn−xmoy)2
  total	N	X			V(X)

  moyenne : x_moy = X / N
  écart-type : σ = √V(X) / N
• Calcul à la main (méthode 2) :
  remarque sur le calcul de σ :

  Σ (xi−xmoy)2	= Σ (xi2 − 2 xi xmoy + xmoy2)
  	= Σ xi2 − 2 Σ xi xmoy + Σ xmoy2
  	= Σ xi2 − 2 xmoy Σ xi + N xmoy2
  	= Σ xi2 − 2 xmoy N xmoy + N xmoy2
  	= Σ xi2 − N xmoy2
  Soit :       σ2	= Σ xi2 / N   −   xmoy2

  présenter les valeurs sous forme de tableaux :

  valeur	effectif	Σ xi	Σ xi2
  x1	n1	n1 x1	n1 (x12)
  x2	n2	n2 x2	n2 (x22)
  . . .	. . .	. . .	. . .
  xn	nn	nn xn	nn (xn2)
  total	N	NX	NX2

  moyenne : x_moy = NX / N
  écart-type : σ = √ NX2 / N − NX² / N²  

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