Partie 2 vecteurs

A et B sont deux points distincts
1) On cherche a construire MA et MB tels que : 3MA + 4MB = 0
    les points A, B et M sont ils colinéaires ?
2) montrer que 7MA +4MB =0
3) Construire le point M

Réponse :
1) 3MA + 4MB = 0
   3MA + 4MB - 4MB = 0 - 4MB
   3MA  = -4MB
Les points A; B et M sont donc alignés (ou colinéaires)
   MA  = -4/3 MB
   AM = 4/3 MB
Le point A appartient à la droite (MB) : on part de M et l'on porte MA = -4/3 MB
 on reste donc dans le prolongement de MB

2) démontrer que : 7MA + 4AB = 0
	D'après l'énoncé, on a :
   3MA + 4MB = 0
   3MA + 4(MA+AB) = 0
	On met MA en facteur
   MA (3+4) + 4AB = 0
   7MA + 4AB = 0

3) construction du poit M :
   D'après la question précédente : 7MA + 4AB = 0
   => 7MA = -4AB
   => -7AM = -4AB
   => AM = 4/7 AB
   donc : M est entre A et B car 4/7 est compris entre 0 et 1
   Mais cela ne nous dit pas comment le construire.
On trace une droite partant de A dans une autre direction que AB
on reporte 7 fois un segment de longueur quelconque (1cm par exemple).
on joint l'extrêmité 7 (appelée B') ainsi obtenue au point B
On trace une parallèle à cette droite passant l'extrêmité 4 (appelée M') 
elle coupera AB aux 4/7 (d'après le théorème de Thalès)
On aurait pu mesurer AM'=4cm et AB'=7cm sur la nouvelle droite,
 puis tracer MM' parallèle à BB' pour obtenir M.
 

Exercice 4) Soit G l'intersection de 2 médianes d'un triangle ABC.
     Démontrer que G est situé au 2/3 des médianes en partant des sommets.
     On appellera les médianes AA', BB' et CC'. (A' milieu de BC, ...)
     (En faisant une démonstration générale pour 2 médianes,
      elle sera vraie également pour tous les couples de 2 médianes).
4.0) faire un dessin
4.1) traduction de l'énoncé :
     G appartient à la médiane AA' : AG = x AA'
     G appartient à la médiane BB' : BG = y BB'
     A' milieu de BC : BA' = 1/2 BC
     B' milieu de CA : CA' = 1/2 CA
     C' milieu de AB : AA' = 1/2 AB
     Il faut démontrer : ? AG = 2/3 AA' ?
4.2) calculons AG dans la base (origine=A, vecteurs AB, AC)
     AG = x AA' = x (AB + BA') = x (AB + 1/2 BC)
     avec BC = BA + AC = -AB + AC
     d'où : AG = x (AB + 1/2 (-AB + AC)) = x AB - x/2 AB + x/2 AC = x/2 (AB + AC)
     Par ailleurs :
     BG = y BB' = ... = y/2 (BA + BC) = y/2(-AB + BA + AC) = y/2(-2AB + AC)
     d'où AG = AB + BG = AB + y/2(-2AB + AC)
     AG = (1-y)AB + y/2 AC
     Comparons les 2 expressions de AG : elles doivent être égales
     coefficients de AB : x/2 = 1-y
     coefficients de AC : x/2 = y/2
     d'où : x = y
     puis : x/2 + x = 1 = 3/2 x => x = 2/3
     Soit : AG = 2/3 AA' et BG = 2/3 BB'
     CQFD (Ce Qu'il Fallait Démontrer).
4.3) en prenant les médianes BB' et CC'
     on trouve que l'intersection est le point G de BB' déjà trouvé.
     => les 3 médianes se coupent au même point.