Maths : critères de divisibilité

• divisibilité par 10 :
  • la partie 100×a + 10×b = 10×( 10×a + b ) est divisible par 10 (donc aussi 2 et 5)
  • si "c", le dernier chiffre = 0 : n est divisible par 10
  • exemple : n = 45670 est divisible par 10 ( n = 10×4567 )
• divisibilité par 2 :
  • 10 = 2×5 donc n = 2×5×2×5×a + 2×5×b + c
  • n = 2×(5×2×5×a + 5×b) + c
  • si "c", le dernier chiffre est divisible par 2 : n est divisible par 2
  • exemple : n = 45678 est-il divisible par 2 ? 8=2×4 ( n = 2×22839 )
• divisibilité par 5 :
  • 10 = 2×5 donc n = 2×5×2×5×a + 2×5×b + c
  • n = 5×(2×5×2×a + 2×b) + c
  • si "c", le dernier chiffre est divisible par 5 : n est divisible par 5
  • exemple : n = 13365 est-il divisible par 5 ? 5=5×1 ( n = 5×2673 )
• divisibilité par 3 ou 9 :
  • on remplace 10 par ( 9 + 1 )
  • n = ( 9 + 1 )×( 9 + 1 )×a + ( 9 + 1 )×b + c
  • n = ( 9×9 + 9×1 + 1×9 + 1×1 )×a + ( 9 + 1 )×b + c
  • n = 9×( 9 + 1 + 1 )×a + a + 9×b + b + c
  • n = 9×( 11×a + b ) + a + b + c
  • si "a + b + c" , la somme des chiffres est divisible par 3 ou 9 : n est divisible par 3 ou 9
  • exemple : n = 13365 est-il divisible par 9 ? 1+3+3+6+5=18=9×2 ( n = 9×1485 )
• divisibilité par 11 :
  • on remplace 10 par ( 11 − 1 )
  • n = ( 11 − 1 )×( 11 − 1 )×a + ( 11 − 1 )×b + c
  • n = ( 11×11 − 11×1 − 1×11 + 1×1 )×a + ( 11 − 1 )×b + c
  • n = 11×( 11 − 1 − 1 )×a + a + 11×b − b + c
  • n = 11×( 9×a + b ) + a − b + c
  • si "a − b + c" , la somme des chiffres de rangs pairs moins la somme des chiffres de rangs impairs est divisible par 11 : n est divisible par 11
  • exemple : n = 13365 est-il divisible par 11 ? 1−3+3−6+5=0=11×0 ( n = 11×1215 )
• (hors programme : sans intérêt autre que pédagogique) essai de divisibilité par 7 :
  • on remplace 10 par ( 7 + 3 )
  • n = ( 7 + 3 )×( 7 + 3 )×a + ( 7 + 3 )×b + c
  • n = ( 7×7 + 7×3 + 3×7 + 3×3 )×a + ( 7 + 3 )×b + c
  • n = 7×( 7 + 3 + 3 )×a + 3×3×a + 7×b + 3×b + c
  • n = 7×( 13×a + b ) + 9×a + 3×b + c
  • si "9×a + 3×b + c" est divisible par 7, alors n est divisible par 7
  • exemple : n = 861 est-il divisible par 7 ? 9×8+3×6+1=91
    91 est-il divisible par 7 ? 3×9+1=28=7×4 ( n = 7×123 )
• par contre 100 = 7×14 + 2   (7×7=49)
  permet de ramener la divisibilité par 7 de n = "abcd" = "ab"×100 + "cd"
      à la divisibilité par 7 de "ab"×2 + "cd"
  exemple : 8638 est-il divisible par 7 ?
  • oui si 86×2 + 38 = 172 + 38 = 210 est divisible par 7
  • si 2×2 + 10 = 14 est divisible par 7
  • 8638 = 7×1234