Cours TES logarithmes

• domaine de définition de ln x : D_ln = ]0 ; +∞[
• dérivée et variation : (ln x)' = 1/x     donc : (ln u)' = u'/u

  fonction croissante valeurs particulières : ln(0) = −∞ ln(1) = 0 ln(e) = 1     (avec e = 2,71828...) ln(e2) = 2 ln(e) = 2 ... ln(en) = n ln(e) = n ln(+∞) = +∞

  x	0		1		e	+∞
  (ln x)' = 1/ x	||	+	+	+	+	+
  ln x	||	croissante
  	||	−∞	0		1	+∞
  	||	négatif	0	positif

• ln( a × b ) = ln a + ln b       ( mnémotechnie : le logarithme transforme le produit a × b en somme )
  ln ( a / b ) = ln a − ln b
  ln ( 1 / a ) = − ln a
• ln( a^b ) = b × ln a       ( mnémotechnie : le logarithme transforme la puissance a^b en produit )
  ln ( 8 ) = ln ( 2³ ) = 3 ln 2       (QCM de bac)
  ln ( √a ) = (1/2) ln a       ( car √a = a^1/2 )
• La fonction inverse du logarithme est l'exponentielle :
  • e^ln(x) = x     (attention : x > 0)
  • ln(e^x) = x     (quel que soit x réel)
    on retrouve ln(e) = 1
• application à la résolution de l'équation : a^x = b
  • ln(a^x) = ln(b)
  • x ln(a) = ln(b)
  • x = ln(b) / ln(a)
• application à la résolution de l'inéquation : aⁿ < b
  • ln(aⁿ) < ln(b)       ( comme la fonction ln( ) est croissante, elle conserve le sens de l'inéquation)
  • n ln(a) < ln(b)
  • on divise par ln(a) : ATTENTION au signe de ln(a) !
    • si a < 1, alors ln(a) < 0 : n > ln(b) / ln(a)
    • si a > 1, alors ln(a) > 0 : n < ln(b) / ln(a)
• résolution de l'équation : ln(x) = a
  • e^ln(x) = e^a
  • x = e^a
• remarque : dérivée de a^x :
  a^x = (e^ln(a))^x = e^{x ln(a)}
  (a^x)' = ln(a) × e^{x ln(a)} = ln(a) × a^x