bac Math S Nouvelle Calédonie exercice 3   (répertoire)

• Nouvelle Calédonie exercice 4   (étude de fonction)
• 1) AD : définition du cosinus : AB = AD cos(θ) ⇒ AD = 4 / cos(θ)
  tan(θ) = BD / AB ⇒ BD = AB tan(θ)
  CD = CB + BD ⇒ CD = 7 + 4 tan(θ)
  lapin : v = d / t   ⇒   t₁ = d / v = AD / 30 = 4 / [30 cos(θ)]
  camion : t₂ = d / v = CD / 60 = (7 + 4 tan(θ)) / 60
  remarque : l'unité de temps d(m) / v(km/h) = h.m/km = 10⁻³ h = 3,6 s
• le lapin traverse la route avant l'arrivée du camion si t₁ < t₂
  soit : t₂ − t₁ > 0
  (7 + 4 tan(θ)) / 60 − 4 / [30 cos(θ)] > 0
  pour se rapprocher de f(x), on multiplie par 30 :
  7/2 + 2 tan(θ) − 4 / cos(θ) > 0   soit :   f(x) > 0
• conclure :
  • tracer de la courbe f(x) sur la calculatrice : elle frôle l'axe Ox
    femêtre utilisée : en x : [0 ; π/2[ en y : [−1 ; 1]
    zoom boîte autour du sommet : on voit que f(x) passe positif pour un angle de l'ordre de 0,5
  • étude de la fonction : f(x) = 7/2 + 2 tan(θ) − 4/cos(θ) = 7/2 + 2 u/v − 4/v
    avec : u = sin θ   et   u' = cos θ
    avec : v = cos θ   et   v' = −sin θ
    • calcul de la dérivée f '(x) :
      f '(x) = 0 + 2 (u' v − u v') / v² − 4 (− v'/v²)
      f '(x) = 2 (u' v − u v') / v² + 4 v'/v²
      f '(x) = 2 ((cos θ)² + (sin θ)²) / (cos θ)² + 4 (− sin θ) / (cos θ)²
      or on sait que : (cos θ)² + (sin θ)² = 1
      f '(x) = 2 × 1 / (cos θ)² − 4 (sin θ) / (cos θ)²
      f '(x) = [ 2 − 4 sin θ ] / (cos θ)²
    • signe de [ 2 − 4 sin θ ] :
      2 − 4 sin θ = 0
      4 sin θ = 2 : sin θ = 1 / 2 ⇒ θ = π / 6

      x	0		π/6		π/2
      sin(θ)	0	croissante			1
      − 4 sin(θ)	0	décroissante			− 4
      2 − 4 sin(θ)	2	décroissante	0	décroissante	− 2
      2 − 4 sin(θ)	+		0	−
      f '(θ)	+		0	−

    • variation de f(x)
      bornes :
      • f(0) = 7/2 − 4 = − 1/2
      • f(π/6) = 7/2 + 2 (1/2) / (√3/2) − 4 / (√3/2)
        remarque : (1/2) / (√3/2) = (1/2) × (2/√3) = 2 / (2 √3) = 1 / √3
        f(π/6) = 7/2 + 2 / √3 − 8 / √3
        f(π/6) = (7 √3 + 4 − 16) / (2 √3) = (7 √3 − 12) / (2 √3) ≈ 0,036 > 0
        remarque : marge de temps = 0,036 × 10⁻³ h = 0,036 / 1000 × 3600 s = 0,13 s
      • f(π/2) = 7/2 + ∞ − 4 / 0 = ∞ − ∞ forme indéterminée
        on factorise le dénominateur cos(θ) :
            f(π/2) = 7/2 + (2 sin(θ) − 4) / cos(θ) = 7/2 + (−2) / (+0) = − ∞

      x	0		π/6		π/2
      f '(x)	2	+	0	−	−∞
      f(x)	−1/2	croissante	+0,036	décroissante	−∞

  • Le lapin peut traverser la route avant le camion pour un angle de π/6 = 30°

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