Rayane, contrôle 1   [répertoire]

• Sujet :
  • fonction f(x) = 6 − 5 / (x+1)
  • suite (u_n) : u_n+1 = f(u_n)
• 1) Etude de f(x)
  • 1.a) f est dérivable sur [0 ; ∞[ car la seule valeur interdite est x = −1
    f(x) = a + b/u ; avec a = 6 ; b = −5 ; u = x+1
    f '(x) = −b u'/u² = 5 / (x+1)² > 0
    f ↗ sur [0 ; ∞[ avec f(0) = 1 et lim f(x) quand x → ∞ = 6
  • 1.b) f(x) = x :
    6 − 5 / (x+1) = x
    comme x ≠ −1, on peut multiplier par (x+1) : 6 (x+1) − 5 = x (x+1)
    x² + x − 6 x − 1 = 0
    x² − 5 x − 1 = 0
    Δ = b² − 4 a c = 25 + 4 = 29 > 0
    2 solutions : x = (−b ±√Δ) / (2 a) dans R
    x = (5 ± √29) / 2
    seule la solution : (5 + √29) / 2 ≈ 5.19 ∈ [0 ; ∞[
    C'est très bien d'avoir pensé à élever 2 au carré en le rentrant dans le radical.
    mais en maths, on préfère garder les fractions plutôt que les nombres décimaux
    l'autre valeur étant < 0
    réponse à la question :
    la solution de l'équation f(x) = x dans [0 ; ∞[ est unique
    elle vaut α = (5 + √29) / 2
    → on ne demande pas de tableau de signe de f(x) − x
  • 1.c)
    • Dans l'énoncé, il est dit : x ∈ [0 ; α]
      on part donc de x ∈ [0 ; α] ⇔ 0 ≤ x ≤ α
      comme f est une fonction croissante : f(0) ≤ f(x) ≤ f(α) ⇔ 1 ≤ f(x) ≤ α
      soit f(x) ∈ [1 ; α] ⊂ [0 ; α]
      réponse à la question :
      donc : x ∈ [0 ; α] ⇒ f(x) ∈ [0 ; α]
    • x ∈ [α ; ∞] ⇔ α ≤ x
      On n'écrit pas x ≤ ∞ : on ne met rien.
      On remplace f(∞) par limite de f(x) quand x → ∞
      comme f est une fonction croissante : f(α) ≤ f(x) ≤ limite de f(x) quand x → ∞
      α ≤ f(x) ≤ 6 soit f(x) ∈ [α ; 6] ⊂ [α ; ∞]
      réponse à la question :
      donc : x ∈ [α ; ∞] ⇒ f(x) ∈ [α ; ∞]
      La réponse est l'implication : il faut les 2 termes :
      Nous avons démontré : x ∈ [α ; ∞] ⇒ f(x) ∈ [α ; ∞]
• 2) Etude de (u_n) pour u₀ = 0
  • 2.a) Il est demandé de construire les points A₁, A₂, A₃, A₄
    tu peux les calculer pour vérifier que ta construction est correcte, mais ce n'est pas demandé.
    on part de A₀ = (0,0)
    • on trace un trait jusqu'à la courbe de f (point(0,1))
    • on trace un trait jusqu'à la droite y=x
    • on trace un trait vers l'axe Ox : point A₁ = (1,0)
    On recommence à partir de A₁ = (1,0) : on continue le trait jusqu'à la courbe, . . .
    2 réponses possibles à la conjecture :
    1) ma conjecture est : la suite est croissante et converge vers la valeur α
    2) ou : il semble que la suite soit croissante et converge vers la valeur α
  • 2.b) démontrer : 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α
    • initialisation : u₀ = 0 et u₁ = 1
      0 ≤ u₀ ≤ u₁ ≤ α ≈ 5,19
      la proposition 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α est vraie pour n = 0
    • hérédité : on veut montrer que si la proposition est vraie pour un rang quelconque fixé n, elle est vraie pour le rang n+1
      supposons que 0 ≤ u_n−1 ≤ u_n ≤ α
      comme f est croissante : f(0) ≤ f(u_n−1) ≤ f(u_n) ≤ f(α)
      soit : 1 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α
      ou encore : 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α
      nous avons démontré l'héritage de la proposition : 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α
    • conclusion :
      nous avons démontré que la proposition est vraie au rang n=0,
      qu'elle est héréditaire :
      Le raisonnement par récurrence nous permet d'affirmer que la proposition est vraie ∀ n ≥ 0
      soit : 0 ≤ u_n ≤ u_n+1 ≤ α est vraie ∀ n ≥ 0
  • 2.c) limite de la suite (u_n)
    • 1) la suite (u_n) est croissante et majorée par α
      donc elle converge vers une limite ≤ α
    • 2) Vers quelle limite converge (u_n) ?
      les seules limites L possibles sont celles vérifiant f(L) = L
      donc comme α est la seule solution à f(x) = x dans [0 ; α], la suite u_n converge vers α
• 3) Etude de (u_n) selon u₀ ≥ 0
  • Argumentation ?
  • comme la fonction f est croissante, les 5 propositions suivantes sont héréditaires :
    • 0 ≤ u_n
    • α ≤ u_n
    • u_n ≤ α
    • u_n+1 ≤ u_n
    • u_n ≤ u_n+1
    Pour savoir si une suite est décroissante et minorée ou croissante et majorée,
    il suffit que ce soit vérifié pour ses 2 premiers termes.
    → C'est toujours le même raisonnement pour les suites u_n+1 = f(u_n)
  • étude du signe de u₁ − u₀
    u₁ − u₀ = 6 − 5 / (u₀ + 1) − u₀
    = [6 (u₀ + 1) − 5 − u₀ (u₀ + 1) ] / (u₀ + 1)
    = [6 u₀ + 6 − 5 − u₀² − u₀ ] / (u₀ + 1)
    u₁ − u₀ = [5 u₀ + 1 − u₀²] / (u₀ + 1)
    → On retrouve l'équation de f(x) = x !
  • faire un tableau de signe selon u₀ : 0 . . . α . . . ∞
    numérateur < 0 en dehors des racines . . .
    u₁ − u₀ > 0 dans [0 ; α[
    u₁ − u₀ = 0 pour α
    u₁ − u₀ < 0 dans ]α ; ∞[
    dénominateur > 0
  • on peut maintenant conclure :
    • cas u₀ strictement inférieur à α : u₁ > u₀
      la suite ↗ ≤ α et converge vers α
    • cas u₀ = α : u₁ = u₀
      la suite est constante de valeur α et converge vers α
    • cas u₀ strictement supérieur à α : u₁ < u₀
      la suite ↘ ≥ α et converge vers α

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