Nombres Complexes   [répertoire]

• nombres complexes : représentation algébrique(cartésienne) / graphique 2D / trigonométrique / exponentielle
  • algébrique : z = x + i y   est représenté par le vecteur (x ; y)
  • trigonométrique : z = ρ cos(θ) + i ρ sin(θ)   avec ρ = √a² + b²    et θ l'angle entre l'axe Ox et le vecteur (a ; b)
  • exponentielle : z = ρ e^{i θ}
    e^{i θ} est le point du cercle trigo. situé à l'angle θ : angle(Ox,OM) = θ
    i = e^{i π/2}   ;   −1 = e^{i π}   ;   −i = e^{−i π}   ;   1 = e⁰ = e^{2 i π} = e^{2 i k π}
  • coordonnées polaires (ρ ; θ)
  • complexe conjugué de z = x + i y :     z = x − i y
    z z = x² + y² = ρ²
    z + z = 2 x   (avec x = partie réelle de z)
    z − z = 2 i y   (avec iy = partie imaginaire de z)
    Pour obtenir le conjugué z de z, il suffit de changer tous les "i" en "−i"
• Cas d'utilisation :
  • pour additionner(soustraire) 2 nombres complexes → forme algébrique ou trigo. :
    (x₁ + i y₁) + (x₂ + i y₂) = (x₁ + x₂) + i (y₁ + y₂)
  • pour mutiliplier(diviser) → forme exponentielle :
    ρ₁ e^{i θ₁} × ρ₂ e^{i θ₂} = ρ₁ ρ₂ e^{i (θ₁+θ₂)}
    (ρ e^iθ)ⁿ = ρⁿ e^inθ
• annales de bac :
  • 2018-pondichery ex.2
    rappel : racine cubique de l'unité : j = (−1+i√3)/2 vérifie j³ = 1
    mon corrigé Pondichéry 2018

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