exercice 4   (répertoire)

• A) nombres triangulaires : N = n(n+1)/2 carrés d'entiers
  • recherche de 36
    6 × 7 / 2 = 3 × 7 = 21
    7 × 8 / 2 = 4 × 7 = 28
    8 × 9 / 2 = 4 × 9 = 36
  • n (n+1) / 2 = p² ⇔ n² − n − 2 p² = 0
  • n vérifie l'équation : n² + n − 2 p² = 0
    Δ = b² − 4 a c = 1 + 8 p²
    n = (−1 + √Δ) / 2
    ⇔ 2 n + 1 = √Δ
    comme tous les termes sont positifs : ⇔ (2 n + 1)² = Δ = 1 + 8 p²
    Soit (2 n + 1)² − 8 p² = 1
    remarque : Δ doit être le carré d'un nombre impair pour ne pas introduire de radical, ni de fraction
• B) équation diophantienne : x² − 8 y² = 1
  • x est nécessairement impair :
    (x=1 ; y=0) (mais 0 n'est pas un entier naturel pour les anglais)
    (x = 3 ; y = 1) ; x=5 non ; x=7 non ; x=9 non
    remarque : x = 2 n + 1   et : y = p
  • relation de Bezout : x et y sont premiers entre eux s'il existe a et b tels que a x + b y = 1
    ici a = x et b = − 8 y : la relation de Bezout est satisfaite.
• C)
  • C.1) calcul de ^t(x',y') = A ^t(x,y)
    x' = 3 x + 8 y
    y' = x + 3 y
  • C.2) calculer A⁻¹
    • utiliser la calculatrice
    • sinon, inverser le système précédent : x = a x' + b y' et y = c x' + d y'
      x' = 3 x + 8 y
      y' = x + 3 y

      				|| élim. x	|| élim. y
      x'	=	3 x	8 y	|| ×(−1)	|| ×3
      y'	=	x	3 y	|| × 3	|| ×(−8)

      élim. x : − x' + 3 y' = y
      élim. y : 3 x' − 8 y = x
      ^t(x,y) = A^{−1 t}(x',y')
      x = 3 x' − 8 y'
      y = − x' + 3 y'

      A−1 =	3	−8
      	−1	3

    • l'inverse d'une matrice 2x2 peut aussi être connue par coeur : avec Δ = a d − b c = 1

      A =	a	c	A−1 =	d/Δ	−c/Δ	A−1 =	3	−8
      	b	d		−b/Δ	a/Δ		−1	3

  • C.3) x² − 8 y² = 1 ⇔ (3 x' − 8 y')² − 8 (− x' + 3 y')² = 1
    ⇔ (9 x'² − 48 x' y' + 64 y'²) − 8 (x'² − 6 x' y' + 9 y'²) = 1
    ⇔ 9 x'² − 48 x' y' + 64 y'² − 8 x'² + 48 x' y' − 72 y'² = 1
    ⇔ x'² − 8 y'² = 1
  • C.4) x₀ = 3 et y₀ = 1
    ^t(x_n+1, y_n+1) = A ^t(x_n, y_n)
    initialisation : (x₀, y₀) vérifient E : x₀² − 8 y₀² = 9 − 8 = 1
    hérédité :
      on suppose que (x_n, y_n) vérifient E : x_n² − 8 y_n² = 1
    d'après C.3) (x,y) vérifient E ⇔ A ^t(x,y) vérifient E
    or ^t(x_n+1, y_n+1) = A ^t(x_n, y_n)
    donc d'après C.3) (x_n+1, y_n+1) vérifient E
    conclusion : tous les couples de la suite (x_n, y_n) vérifient E
• D)
  • premier couple : (x₀, y₀) = (3,1) correspond à Δ = (2 n + 1)²
    x = 3 ⇒ n = 1 et y = 1 ⇒ p = 1   soit ; somme des nombre jusqu'à n = 1
  • couple suivant : (x₁, y₁) = (17,6)
    x = 17 ⇒ n = 8 (et y = 6 ⇒ p = 6)   soit : 8 × 9 / 2 = 36 (nombre triangulaire)
    vérification : 17 * 17 - 8 * 6 * 6 = 1
  • couple suivant : (x₂, y₂) = (99,35)
    x = 99 ⇒ n = 49 (et p = 35)   soit : nombre triangulaire = 49 * 50 / 2 = 1225 = (35)² ≤ 2015
  • couple suivant : (x₃, y₃) = (577,204)
    n = 288   soit : nombre triangulaire = 288 × 289 / 2 = 41616 > 2015

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