Cours 07 Novembre 2105       (répertoire)

• lien sur les limites
• théorie :
  • limite d'une suite : L est la limite de la suite (u_n) quand n → ∞ si :
    ∀ ε, ∃ N tel que : n > N ⇒ |u_n − L| < ε
    pour n > N : u_n a convergé vers L à la précision ε près
  • limite d'une fonction à l'infini : L est la limite de la fonction f(x) quand x → ∞ si :
    ∀ ε, ∃ A tel que : x > A ⇒ |f(x) − L| < ε
  • limite d'une fonction en a : L est la limite de la fonction f(x) quand x → a si :
    ∀ ε, ∃ μ tel que : |x − a| < μ ⇒ |f(x) − L| < ε
• pratique :
  • limite de f(x) quand (x→a) = f(a)     (si f(a) est définie)
    cas particuliers : 1 / 0 = ∞   et :   1 / ∞ = 0
  • indétermination par une soustraction : ∞ − ∞
    • simplifier les termes qui donnent les infinis : en développant par exemple
    • plus difficile : limite de √x + 1 − √x − 1 quand x→∞
      multiplier et diviser par l'expression conjuguée √x + 1 + √x − 1 (qui n'est pas indéterminée → ∞)
          pour supprimer les radicaux de l'expression indéterminée
      = [(x + 1) − (x − 1)] / [√x + 1 + √x − 1] = 2 / [√x + 1 + √x − 1] → 0
  • indétermination par une multiplication : 0 × ∞
  • indétermination par une division : 0 / 0   (ou :   ∞ / ∞)
    • simplifier par les termes qui donnent les valeurs 0 (ou ∞)
    • pour les expressions polynomiale, quand x→∞ : mettre le terme de plus haut degré en facteur
          exemple: 5 x³ − x + 1 = x³ (5 − 1/x² + 1/x³)
          où 1/x² et 1/x³ → 0 disparaissent par rapport à 5
  • cas des polynômes sous un radical : sortir le terme de plus haut degré
    √a x² + b x + c = |x| √a + b / x + c / x² 
        (attention à la valeur absolue : √x²  = |x|)
  • Théorème des gendarmes : pour limite de sin(x) / x quand x→∞
    −1 ≤ sin(x) ≤ 1   ⇒   −1 / x ≤ sin(x) / x ≤ 1 / x
    −1 / x et 1 / x → 0   donc : sin(x) / x → 0
    en général, il faut : u_inf,n ≤ u_n ≤ u_sup,n   avec (u_inf,n) et (u_sup,n) qui tendent vers la même limite.
• lien sur les dérivées
  • Pour calculer une dérivée, il faut calculer une limite indéterminée de la forme : 0 / 0
    limite quand h→0 de : [f(a+h) − f(a)] / h
    et il faut simplifier par h pour lever l'indétermination.
• cercle trigo. à réviser.
• inéquations :
  • 0 < a < b   ⇒   0 < 1/b < 1/a
    car la fonction 1/x est décroissante :   a < b   ⇒   1/a > 1/b
  • de même : a < b < 0   ⇒   1/b < 1/a < 0
    mais il faut que a et b soient du même côté de 0
• nombres complexes : représentation graphique 2D
  • z = a + i b   est représenté par le vecteur (a ; b)
  • z = ρ cos(θ) + i ρ sin(θ)   avec ρ = √a² + b²    et θ l'angle entre l'axe Ox et le vecteur (a ; b)
  • complexe conjugué :     z = a − i b
    z z = a² + b² = ρ²

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