Cours 14 Novembre 2105 : corrigé DS       (répertoire)

• exercice 1.A : (A REVOIR)
  g(x) = x √x² + 1 − 1   sur ] −3 ; 3 ]
  • question A.1) variation de g
    à faire : dérivée g', tableau de signe de g', variation de g
    dérivées : (rappel de cours)
    • d'une somme : (f + g)' = f ' + g'
    • d'une produit : (f × g)' = f ' × g + f × g'
      pourquoi ? (f + df) (g + dg) = f g + (f dg + df g) + df dg = f g + d(f g)     (on divise tout par dx)
    • d'un quotient : (u / v)' = (u ' v − u v') / v²
      on peut retrouver (u / v)' comme dérivée de (u v⁻¹) d'où le −1 devant le v'
    • Calcul d'une dérivée : on écrit la fonction sous une forme dont on connaît la dérivée :
      • g(x) = u v − 1
        avec u = x   et   v = √x² + 1
        les dérivées dont nous auront besoin : u' = 1   et   v' = w' / (2 √w)   avec   w = x² + 1   et   w' = 2 x
        v' = (2 x) / ( 2 √x² + 1) = x / √x² + 1
      • g'(x) = u' v + u v' = √x² + 1 + x² / √x² + 1 = (2 x² + 1) / √x² + 1
  • question A.2) application du T.V.I. :
    • g est continue et strictement croissante
    • g(−3) < 0
    • g(3) > 0
    • donc il existe α ∈ ] −3 ; 3 [ tel que f(α) = 0
    • encadrement : calculatrice table des valeurs de la fonction g(x)
      • g(0,7) ≈ −0,145 < 0
      • g(0,8) ≈ 0,024 > 0
      • g(α) = 0     avec α ∈ ] 0,7 ; 0,8 [             (intervalle antécédent)
                    et g(α) = 0 ∈ ] −0,145 ; 0,024 [   (intervalle image)
  • question A.3) tableau de variation de g : OK
• exercice 1.B : f(x) = x³ / 3 − √x² + 1 (A REVOIR)
  • question 1.B.1) dérivée de f : f(x) est de la forme u − v
    avec u = x³ / 3   et   v = √x² + 1
    et u' = 3 x² / 3 = x²
    v' = w' / (2 √w) avec w = x² + 1   et   w' = 2 x
    v' = (2 x) / (2 √x² + 1) = x / √x² + 1
  • f '(x) = u' − v' = x² − x / √x² + 1
    • mise au même dénominateur : f '(x) = (x² √x² + 1 − x) / √x² + 1
    • factorisatiobn de x : f '(x) = x (x √x² + 1 − 1) / √x² + 1
    • on reconnaît g(x) : f '(x) = x g(x) / √x² + 1
  • dérivées : (rappel de cours)
    • (xⁿ) ' = n xⁿ⁻¹     (formule valable pour n réel quelconque)
    • en particulier avec n = −1 : (1 / x)' = (x⁻¹)' = −1 × x⁻² = − 1 / x²
    • en particulier avec n = 1/2 : (√x) ' = (x^1/2)' = (1/2) × x^−1/2 = 1 / (2 √x)
      (√u) ' = u' / (2 √u)
  • question 1.B.2) signe de f '(x) : f '(x) est un produit/quotient : on étudie le signe de chaque terme du produit/quotient
    x   ;   g(x) (partie A)   ;   √x² + 1
    C'est plus facile de trouver le signe. (pour l'élève comme pour le correcteur)
    on met les valeurs particulières de x dans l'ordre : −3 ; 0 ; α (≈0,7) ; 3

    x	−3	0		α	3
    x	−	0	+	+	+
    g(x)	−	−	−	0	+
    √x2 + 1	+	+	+	+	+
    f '(x)	+	0	−	0	+
    variation de f(x)	↑	−1	↓	f(α)	↑

  • question 1.B.3) montrer que f(α) = (α⁴ − 3) / (3 α) (A REVOIR)
    • Analyse de la forme à obtenir comparé à la forme que l'on a obtenue à la question 1.A.1) :
      il n'y a plus de radical (racine carrée)
    • que sait-on sur α ? g(α) = 0   soit :   α √α² + 1 − 1 = 0
      on a là un moyen d'exprimer le radical : √α² + 1 = 1 / α
    • en remplaçant le radical dans f(α) : f(α) = α³ / 3 − 1 / α
      en mettant au même dénominateur (c'est une forme de factorisation) : 3 α
      f(α) = α⁴ / (3 α) − 3 / (3 α) = (α⁴ − 3) / (3 α)
• exercice 2 : Q.C.M. (A REVOIR)
  • au brouillon, tracer l'allure de la courbe de f(x)
  • 1) comme on ne connaît pas f(x) explicitement, on doit éliminer les formules impossibles :
    • points les plus faciles à calculer : x = 3   puis;   x → ∞   puis;   x → −∞
    • x = 3 : f(3) = 0 ; seule (a) et (b) font 0   car : (c) est infini
    • x → ∞ : f(∞) → −∞ seul (a) → −∞   car : (b) → ∞   et (c) → 0
  • 2) solutions de f(x) = 0 dans R : on trace la droite y = 0 dans le tableau de variation
    une intersection dans ]−∞ ; 7/3[ et une intersection double en 3
    donc 2 solutions à f(x) = 0
  • 3) f(]−∞ ; 3[) d'après le tableau de variation :
    f(]−∞ ; 3[) = f(]−∞ ; 7/3]) union f([7/3 ; 3[) = [−4/27 ; ∞[ union [−4/27 ; 0] = [−4/27 ; ∞[
  • 4) solutions de f(x) = 0 dans ]3 ; ∞[ : on trace la droite y = 0 dans le taleau de variation
    attention aux bornes des intervalles : incluses ou excluses.
    ici la solution x=3 est exclue de l'intervalle : donc 0 solutions sur ]3 ; ∞[
• exercice 3 : suite (u_n) telle que u₀ = 5 et u_n+1 = f(u_n)     avec f(x) = 2 x / (x − 1)
  • question 1.a) représentation toile d'araignée (spider web) sur TI82 : [format] [Esc] (escalier ?) (A REVOIR)
    la droite (y = x) sert à reporter u_n (précédent qui est sur l'axe Oy) sur l'axe Ox pour calculer u_n+1
    • On part du point (u₀ ; 0) sur l'axe Ox
    • on rejoint la courbe C_f par un trait vertical : point (u₀ ; u₁)
    • on rejoint la droite (y=x) par un trait horizontal : point (u₁ ; u₁)
    • on rejoint la courbe C_f par un trait vertical : point (u₁ ; u₂)
    • on rejoint la droite (y=x) par un trait horizontal : point (u₂ ; u₂)
    • . . .
    dans les calculatrices, il y a souvent une représentation de l'évolution de (u_n) en toile d'araignée / escalier
    converge vers l'intersection si |f '(x)| < 1
    converge en oscillant si −1 < f '(x) < 0
    converge de manière monotone si 0 < f '(x) < 1
  • question 1.b) (u_n) est une suite qui alterne autour de 3 (non monotone)
  • question 1.c) si x ∈ [5/2 ; 5] quel est l'encadrement de f(x) ?
    f(x) est une fonction décroissante (d'après la figure ou calcul de sa dérivée)
    f(x) décroissante alors : x ∈ [a ; b] ⇒ f(x) ∈ [f(b) ; f(a)]
    répondre à la question : on trouve f(x) ∈ [5/2 ; 10/3] inclus dans [5/2 ; 5] donc f(x) ∈ [5/2 ; 5]
  • question 2) (A REVOIR)
    • la convergence vers 3 n'est pour l'instant qu'une conjecture que l'on n'a pas encore démontrée
      sinon, le problème serait résolu.
    • d'après le résultat de la question précédente : si l'on part de u₀ = 5 ∈ [5/2 ; 5], on en déduit que u₁ ∈ [5/2 ; 5] . . .
      il faut expliciter le raisonnement par récurrence.
  • question 3) v_n = (u_n − 3) / u_n = 1 − 3 / u_n
  • question 3.a) calculer v₀, . . .
    u₀ = 5 ; u₁ = 5/2 ; u₂ = 10/3 ; u₃ = 20/7
    v₀ = 2/5 ; v₁ = −1/5 ; v₂ = 1/10 ; v₃ = −1/20
  • question 3.b) (v_n) est une suite géométrique si : v_n+1 / v_n = q (constante) (A REVOIR)
    dans v_n+1 / v_n, on exprime u_n+1 en fonction de u_n
    et normalement, les u_n devraient se simplifier.
    • on applique la définition de (v_n) :
      q = v_n+1 / v_n = (1 − 3 / u_n+1) / (1 − 3 / u_n)
    • on applique la définition de (u_n) :
      q = [1 − 3 / {(2 u_n) / (u_n −1)}] / [1 − 3 / u_n]
      q = [1 − 3 (u_n −1) / (2 u_n)] / [1 − 3 / u_n]
    • on élimine les dénominateurs en multipliant par (2 u_n) (en haut et en bas)
      q = [2 u_n − 3 (u_n −1)] / [2 u_n − 6]
      q = [− u_n + 3] / [2 u_n − 6]
      q = [− (u_n − 3)] / [2 (u_n − 3)] = − 1 / 2   (constant)
    • (v_n) est une suite géométrique de raison − 1 / 2 et de premier terme v₀
      v_n = v₀ qⁿ = (2 / 5) (− 1 / 2)ⁿ
      v_n = 1 − 3 / u_n
      • v_n − 1 = − 3 / u_n
      • (1 − v_n) / 3 = 1 / u_n
      • u_n = 3 / (1 − v_n) = 3 / (1 − (2 / 5) (− 1 / 2)ⁿ)
      • u_n = 3 / (1 + (1 / 5) (− 1 / 2)ⁿ⁻¹)
• exercice 4 : f(x) = − 0,5 x³ − x − 3
  • question 1) il faut appliquer le TVI donc calculer la dérivée
    la dérivée d'un polynôme de degré 3 est un trinôme du second degré.
    f(x) est continue
    si Δ < 0 : f '(x) a toujours le même signe (le signe de a) et f(x) est monotone et a une seule raine
    si Δ > 0 : f '(x) a 2 racines et change de signe. f(x) effectue une oscillation et peut avoir de 1 à 3 racines
    apprendre à calculer f(−2) avec la calculatrice !
  • l'algorithme affiche la dernière valeur a (par défaut) telle que f(a) > 0 avec n décimales
    lors du dernier passage dans la boucle "Tant que f(a + 10^−p) > 0" :
        f(a + 10^−p) ≤ 0 : la condition n'est pas vérifiée pour l'itération suivante
        la boucle s'arrête : a n'est plus modifié.
    boucle "Tant que p ≤ n" :
        on traite la p-ième décimale de a

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