Cours 21 Novembre 2105       (répertoire)

• En première, quand on apprend les dérivées, on utilise la définition avec le taux d'accroissement :
  • limite quand h → 0 de [f(x+h) − f(x)] / h
    accroissement de f : Δf = f(x+h) − f(x)
    accroissement de x : Δx = h
    pour des accroissements finis (nombre réel) on utilise Δ ou δ
  • ce qui permet de calculer les dérivées des fonctions de base.
  • Ensuite, on ne va pas les re-démontrer à chaque fois : on considère le résultat comme acquis,
      surtout quand on dérive des fonctions composées.
• → Il peut y avoir une question de cours qui demande de calculer la dérivée à partir de la définition.
  ⇒ donc il faut savoir le faire pour les fonctions simples (comme x², 1/x, √x)
• La fonction exponentielle : 10^x (exponentielle à base 10 déjà connue) ; e^x (exponentielle à base e=2,71828...)
  • fonction inverse de logarithme (symétrique par rapport à la première bissectrice)
    x   →(e^)→   e^x   →(ln)→   ln(e^x) = x
    x   →(ln)→   ln(x)   →(e^)→   e^ln(x) = x
  • dérivée(e^x) = e^x (facile à retenir)
    donc : (e^u)' = e^u × u'
  • dérivée(10^x) = ln(10) × 10^x (à ne pas retenir, mais à savoir retrouver plus tard)
    ln(x) = logarithme népérien de x
    ln(10^x) = x ln(10)   ⇒   e^ln(10x) = 10^x = e^{x ln(10)}
• f '(x) = df / dx : 2 notations équivalentes pour les dérivées
  (mais f '(x(t)) est ambigü car on ne sait pas si l'on dérive par rapport à x ou à t : en principe t)
  • accroissement infinitésimal : au lieu de Δx réel, on passe à la limite avec dx infiniment petit (donc non réel)
    ces "infiniment petits" se manipulent (presque toujours) comme des nombres.
    df = accroissement infinitésimal de f = [f(x+h) − f(x) avec h → 0]
    dx = accroissement infinitésimal de x = (h → 0)
  • ainsi la dérivée des fonctions composées : f(u(x)) ' = df / dx = df/du × du/dx = f ' × u'
    • avec f(u(x)) ' = dérivée de f par rapport à x = df/dx
    • df/du = dérivée de f par rapport à u
    • du/dx = dérivée de u par rapport à x
  • exemple qui devrait te rappeler quelque chose :
    • f(x) = √1 + x² 
    • x →→→ u(x) = 1 + x² →→→ f(u) = √u
    • du/dx = 2 x
    • df/du = 1/(2 √u)
    • C'est de là que vient la règle f(u(x))' = f '(u) u'
        car on dérive f(u) par rapport à u : f '(u) = df/du sans s'occuper du x
  • à ne pas confondre avec la dérivée d'un produit :
    • différentielle = accroissement infinitésimal :
    • d(u v) = (u + du) (v + dv) − u v = u v + (du v + u dv) + du dv − u v = du v + u dv
    • car on supprime (du dv) qui est du second ordre (en dx² ou h²)
      alors que : d(u v), (du v) , (u dv) sont du premier ordre (en dx ou en h)
      propriété : dx + dx² = dx alors que dx² ≠ 0 (mais dx² → 0²)
      → c'est une différence avec la manipulation des nombres réels
    • maintenant, si on divise par dx (dérivée par rapport à x) :
      d(u v)/dx = du/dx v + v du/dx
      (u v)' = u' v + u v'
    • Nous en avons parlé samedi dernier :
      • comme moyen de mémoriser : (u v)' = u' v + u v'
      • de même : (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
      • . . .
      • rappel : (u v)' = (u' v − u v') / v²
      • (u^p v^q)' = (p u' v + q u v') (u^p−1 v^q−1)
        propriété de ln() : ln(u^p v^q) = p ln(u) + q ln(v)
        dérivée : (u^p v^q)' / (u^p v^q) = p u' / u + q v' / v
        (u^p v^q)' = (p u' / u + q v' / v) (u^p v^q)
        (u^p v^q)' = (p u' v + q u v') (u^p−1 v^q−1)
        p et q quelconques : négatifs ou fractionnaires
• rappel sur les puissances :
  • 1 / x = x⁻¹
  • 1 / x² = x⁻²
  • √x = x^1/2
  • 1 / √x = x^−1/2

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