Math. Terminale S Cours du 05 Décembre 2015

Cours 05 Décembre 2105 (répertoire)

calcul de dérivées : erreurs à corriger
- (e^u)' = u' e^u
  plus généralement : f(u(x))' = u' f '(u)
- distribution d'un coefficient négatif dans une parenthèse : a − 5 (b −c)
  a − 5 (b −c) = a + (−5) (b −c) = a + [(−5)b −(−5)c] = a − 5 b + 5 c

Devoir Maison :

à faire en 4 heures par morceaux.
ensuite, me soumettre le sujet et le devoir pour correction.
α est défini par g(α) = 0 (comme i est défini par i² = −1)
ce qui permet de simplifier f(α) et d'obtenir une expression de la forme (p α + q) où p et q ∈ Z
question : comment se débarrasser de e^α dans f(α) ?

g(x) = e^x (1 − x) + 1 = u v + 1
u = e^x ; v = (1 − x) ; u' = e^x ; v' = −1
g'(x) = u' v + u v' = e^x (1 − x) − e^x = − x e^x
g(α) = 0

x	−∞		0		∞
−x		+	0	−
e^x		+	+	+
g'(x)		+	0	−
g(x)	1	croissante	2	décroissante	−∞
g(x)	+	+	+	+ 0 −	−

g(1) = 1 > 0 et g(2) = 1 − e² ≈ −6,4 < 0
1,2 < α < 1,3 α ≈ 1,2785
g(α) = 0 = e^α (1 − α) + 1 ⇒ e^α = 1 / (α − 1)
ce qui permettra de remplacer e^α dans l'expression de f(α)

f(x) = x / (e^x + 1) + 2 (d'après mes souvenirs) = u / v + 2
u = x ; v = (e^x + 1) ; u' = 1 ; v' = e^x
f '(x) = (u' v − u v') / v² = (e^x + 1 − x e^x) / (e^x + 1)² = [ e^x (1 − x) + 1 ] / (e^x + 1)² = g(x) / (e^x + 1)²

x	−∞		α		∞
g(x)	+	+	0	−	−
f '(x)	+	+	0	−	−
f(x)	−∞	croissante	1+α	décroissante	2

f(α) = α / (e^α + 1) + 2 = α / (1 / (α − 1) + 1) + 2 = α / [(1 + α − 1) / (α − 1)] + 2
f(α) = α (α − 1) / α + 2 = α − 1 + 2 = α + 1 = p α + q avec p = q = 1
vérification : f(α) ≈ f(1,2785) ≈ 2,2785 ≈ 1 + α

asymptote à +∞ :
- limite de x / (e^x + 1) = limite de x / [ e^x (1 + 1/e^x) ] = limite de x / [ e^x (1 + 0) ] = limite de x / e^x = 0
- d'où : limite de f(x) = 0 + 2 = 2 : asymptote y = 2 pour x → ∞
asymptote à −∞ : limite de f(x) − (x + 2) = limite de x / (e^x + 1) + 2 − (x + 2)
- = limite de x / (e^x + 1) − x = limite de [ x − x (e^x + 1) ] / (e^x + 1)
- = limite de − x e^x / (e^x + 1) = limite de − x e^x / (0 + 1) = limite de − x e^x = 0
  si l'on pose y = −x : limite de −x e^x quand x → −∞
  devient : limite de y e^−y = limite de y / e^y = 0 quand x → ∞
  car on sait que e^y croît plus vite de y au voisinage de +∞
- la courbe C_f se rapproche indéfiniment de la droite D (y = x + 2) pour x → − ∞
- la droite D (y = x + 2) est une asymptote de C_f pour x → − ∞
position de C_f par rapport à d : on étudie le signe de δ(x) = f(x) − (x+2)
- il faut donc factoriser δ(x) ; mettre au même dénominateur, c'est factoriser.
  dans les exercices, cela permet ensuite de simplifier.
- δ(x) = x / (e^x + 1) + 2 − (x+2) = x / (e^x + 1) − x = x ( 1 / (e^x + 1) − 1) = x ( 1 − (e^x + 1) ) / (e^x + 1) = − x e^x / (e^x + 1)
  δ(x) est du signe de − x (car e^x > 0 et (e^x + 1) > 0)
- quand x ≤ 0, donc au voisinage de −∞, δ(x) > 0
  f(x) − y(x) > 0 ⇒ f(x) > y(x) : la courbe est au-dessus de son asymptote.
  remarque : C_f et d ont une intersection unique en (x=0 ; y=2)
  ensuite C_f passe en-dessous de l'asymptote
tangente T à C_f au point d'abcisse 0 :
- y = f '(0) ( x − 0 ) + f(0)
  f(0) = 0 / (e⁰ + 1) + 2 = 2
  f '(0) = [e⁰ (1 − 0) + 1] / (e⁰ + 1)² = 2 / 4 = 1/2
  y = f '(0) x + f(0) = (1/2) x + 2

position de C_f par rapport à T : δ(x) = f(x) − [(1/2) x + 2]

δ(x) = x / (e^x + 1) + 2 − (1/2) x − 2 = x / (e^x + 1) − (1/2) x
δ(x) = x [ 1 / (e^x + 1) − (1/2) ] = x [ 2 − (e^x + 1) ] / [ 2 (e^x + 1) ] = x (1 − e^x) / [ 2 (e^x + 1) ]
signe de h(x) = 1 − e^x : h'(x) = −e^x

x	−∞		0		∞
h'(x) = −e^x		−	−1	−
h(x) = 1 −e^x	1	décroissant	0	décroissant	−∞
h(x) = 1 −e^x	1	+	0	−	−∞
x		−	0	+
2 (e^x + 1)		+	+	+
δ(x)		−	0	−

δ(x) = f(x) − y(x) < 0 ⇒ f(x) < y(x) : la courbe est sous la tangente

u_n+1 = (2 u_n + v_n) / 3 ; v_n+1 = (u_n + v_n) / 2 avec (u₀ = 0 et v₀ = 6)
- les suites (u_n) et (v_n) sont des moyennes des valeurs précédentes, pondérées différemment,
  il n'est pas étonnant qu'elles convergent vers la même valeur.
  si u_n = v_n = L ; alors : u_n+1 = v_n+1 = L
- d_n = v_n − u_n ; d₀ = 6
  d_n+1 = v_n+1 − u_n+1 = (u_n + v_n) / 2 − (2 u_n + v_n) / 3 = (3 u_n + 3 v_n − (4 u_n + 2 v_n) ) / 6 = (− u_n + v_n) / 6 = d_n / 6
  (d_n) est une suite géométrique de raison 1/6 et de premier terme 6
  d_n = 6 (1/6)ⁿ = 6¹⁻ⁿ = (1/6)ⁿ⁻¹ → 0 (|q=1/6| < 1)
- u_n+1 − u_n = (2 u_n + v_n) / 3 − u_n = (− u_n + v_n) / 3 = d_n / 3 = 6¹⁻ⁿ / 3 > 0
  (u_n) est croissante
- v_n+1 − v_n = (u_n + v_n) / 2 − v_n = (u_n − v_n) / 2 = − d_n / 2 = − 6¹⁻ⁿ / 2 < 0
  (v_n) est décroissante
- ⇒ (u_n) et (v_n) ont la même limite L
- t_n+1 = 3 u_n+1 + 2 v_n+1 = (2 u_n + v_n) + (u_n + v_n) = 3 u_n + 2 v_n = t_n
  t₀ = 3 u₀ + 2 v₀ = 12
  t_n = 12
- 3 L + 2 L = 12 ⇒ L = 12/5 = 2,4
- généralisation : (programme python)
```
def suites_moyennes( a, b ) :
    """ a, b dans ]0 ; 1[
    u1 = a u0 + (1-a) v0 ( ne peut pas sortir de [u0 ; v0] )
    v1 = (1-b) u0 + b v0
    d = u - v : geometrique de raison (a+b-1)
    t = (1-b) u + (1-a) v : constante
    L = [ (1-b) u0 + (1-a) v0 ] / (2-a-b)
    """
    # controle
    if a <= 0 or a >= 1 or b <= 0 or b >= 1 :
        print "Erreur : a et b doivent dans ] 0 ; 1 ["
        sys.exit(1)
    u0 = 0
    v0 = 1
    d0 = u0 - v0
    t0 = (1-b) * u0 + (1-a) * v0
    n = 0
    print "(u0, v0, d0, t0) =", (u0, v0, d0, t0)
    print "L =", t0 / (2-a-b)
    for i in range(30) :
        u1 = a * u0 + (1-a) * v0
        v1 = (1-b) * u0 + b * v0
        d1 = u1 - v1
        t1 = (1-b) * u1 + (1-a) * v1
        n += 1
        print "(u1, v1, d1, t1) =", (u1, v1, d1, t1)
        u0 = u1
        v0 = v1
    return
```

exercice du livre : f(x) = e^x − x − 3 (d'après mes souvenirs)

f '(x) = e^x − 1
on ne peut pas factoriser pour étudier le signe : il faut déduire le signe du tableau de variation de f '(x)
cas 1 : on dérive f '(x) en f ''(x) = e^x > 0 ; donc f '(x) est croissante depuis y=−1 jusqu'à ∞
en passant par la valeur 0 pour x=0
cas 2 : on connaît déjà la variation de e^x, on en déduit immédiatement le signe de e^x − 1

x	−∞		0		∞
f ''(x) = e^x	0	+	1	+	∞
f '(x)	−1	croissante	0	croissante	∞
f '(x)	−1	−	0	+	∞
f(x)	∞	décroissante	−2	croissante	∞

D'après le TVI, f(x) = 0 admet une solution dans l'intervalle ] −∞ ; 0 [ et une solution dans l'intervalle ] 0 ; ∞ [

Amérique du Sud 2014 exercice 4 à la page 6/8
- partie A) calcul de dérivée, étude de fonction : OK
  le paramètre "b" est déterminé par la valeur du maximum : f(0) = 1,5
- partie B) NON (primitives)
  B.1) F est une primitive de f si F ' = f : OK
  F(x) mesure l'aire sous la courbe C_f.
  Cette aire est définie à une constante près car on peut la commencer à n'importe quelle valeur x=a
  Aire entre les droites x=a, x=b, l'axe Ox et la courbe C_f : F(b) − F(a)

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