Complexes 2105 (z ∈ C)       (répertoire)

• exercices de bac 2014
• nombres complexe : z = a + i b     (avec a et b ∈ R et i² = −1)
  • représentation graphique cartésienne : z = (a, b) = ρ [ cos(θ) + i sin(θ) ]
    abscisse : a = ρ cos(θ)
    ordonnée : b = ρ sin(θ)
  • représentation graphique polaire : z = (ρ, θ)
  • somme de 2 complexes z₁ = a₁ + i b₁ et z₂ = a₂ + i b₂ = somme des vecteurs :
    z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + i (b₁ + b₂)
  • produit de 2 complexes z₁ = (ρ₁, θ₁) et z₂ = (ρ₂, θ₂) :
    z₁ z₂ = (ρ₁ × ρ₂, θ₁ + θ₂) = (a₁ a₂ − b₁ b₂) + i (a₁ b₂ + b₁ a₂)
• conjugué(z) : z = a − i b
  produit : z z = (a + i b) (a − i b) = a² + b² = ρ²
• quand on a des termes en i au dénominateur, on multiplie par son expression conjuguée (en remplaçant i par −i)
  "en haut et en bas", c'est-à-dire que l'on multiplie le numérateur et le dénominateur.
• Il y a des nombres analogues aux complexes : "a + b √2" avec a et b rationnels (∈ Q)
  on multiplie aussi par l'expression conjuguée "a − b √2" pour faire disparaître √2 du dénominateur.
  par exemple : 1 / (√3 − √2) = (√3 + √2)
• Quand les polynômes à coefficients réels ont des racines complexes, elles sont toujours par paires de racines conjuguées :
  • a x² + b x + c avec Δ < 0 :
    Δ = − i² Δ
    et √Δ = i √−Δ
    x = [ −b ± √−i² Δ ] / (2 a) = [ −b ± i √−Δ ] / (2 a)
• ce qui est intéressant, ce sont les racines n-ièmes de 1 : zⁿ = 1
  • ces racines (z_k) forment des vecteurs de même module ρ_k = 1 et d'angles θ_k = 2 π k / n (avec l'axe Ox)
  • z₀ = 1
    z₁ = cos(2 π / n) + i sin(2 π / n)
    z_k = cos(2 π k/n) + i sin(2 π k/n) = (z₁)^k
    z₀ = 1 = (z₁)⁰
  • On voit (graphiquement) que la somme de ces vecteurs est nulle.
    quand n est pair : ils s'annulent 2 à 2 : z_k = − z_k+n/2 ce qui correspond à des angles différant de π
  • les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe pour la multiplication équivalent à Z / n (Z modulo n)
    { z₁, (z₁)², . . . , (z₁)ⁿ⁻¹, (z₁)ⁿ = 1 }
  • pour n = 3, la racine s'appelle j :   j = cos(2 π/3) + i sin(2 π/3)
    les racines cubiques de l'unité sont : { j⁰, j¹, j² } et j³ = 1
    1 + j + j² = 0
    on déduit de la partie réelle nulle : cos(0) + cos(2 π/3) + cos(4 π/3) = 0 = 1 + 2 cos(2 π/3) d'où : cos(2 π/3) = −1/2
    on déduit de la partie imaginaire nulle : sin(0) + sin(2 π/3) + sin(4 π/3) = 0 comme sin(0) = 0 on obient : sin(2 π/3) = − sin(4 π/3)
    remarque : on sait que : sin(π/3) = sin(2 π/3) = racine(3)/2
    
    pour retrouver les 2 relations trigonométriques :
    cos(a+b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b)
    sin(a+b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)
    on utilise le produit des complexes de modules 1 et d'angles a et b :
    [ cos(a) + i sin(a) ] * [ cos(b) + i sin(b) ] = cos(a+b) + i sin(a+b)
    en plus simple : [ e^ia ] * [ e^ib ] = e^i(a+b)
    car : e^ia = cos(a) + i sin(a) (formule de Moivre)
  • démonstration que la somme = 0 et que le produit = (−1)ⁿ⁺¹ :
    • on résoud l'équation : xⁿ − 1 = 0
    • qui se met sous la forme (x − x₀) (x − x₁) . . . (x − x_n−1) = 0
    • en développant : xⁿ − S₁ xⁿ⁻¹ + S₂ xⁿ⁻² + . . . + (−1)ⁿ⁻¹ S_n−1 x¹ + (−1)ⁿ S_n = 0
      avec :
    • S₁ = somme des racines = 0
      S₂ = somme des produits 2 à 2 des racines = 0
      . . .
      S_n = produit des n racines
    • (−1)ⁿ S_n = produit des n racines = −1     soit : S_n = (−1)ⁿ⁺¹

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