a x + b = 0 ⇒ x = − b / a
équation similaire (à un changement de variable près) :
a x3 + b = 0 (en posant X = x3)
a √x + b = 0
(en posant X = √x)
a ln(x) + b = 0 (en posant X = ln(x))
A(x) = B(x) ⇒ f(x) = A(x) − B(x) = 0
on met tout dans un membre (par addition/soustraction) afin de comparer à 0
on factorise le membre non nul sous la forme : (a x + b) (c x + d) . . . (α x + β) = 0
les solutions à l'équation annulent un des facteurs.
mettre les fractions au même dénominateur pour factoriser ce dénominateur commun.
si l'on ne peut pas factoriser : il faut étudier la fonction f(x)
le tableau de variation permet de localiser les racines (fonction table de la calculatrice)
on résoud numériquement l'équation par calcul approché (fonctions zoom + trace de la calculatrice)
Équations du second degré déguisées : a X2 + b X + c = 0
a x + b + c / x = 0 (on met au même dénominateur x : restriction x ≠ 0)
a x + b √x + c = 0
(on pose X = √x)
restriction : x ≥ 0 et X ≥ 0 à cause de la racine
a x4 + b x2 + c = 0 (on pose X = x2)
a e2x + b ex + c = 0 (on pose X = ex)
raisonnement par l'absurde :
( A ⇒ B ) ⇔ (non_B ⇒ non_A) (contraposée de A ⇒ B)
on a démontré que : A ⇒ B
question : B faux ⇒ A faux (non_B ⇒ non_A) ?
si B faux, supposons que A soit vrai ⇒ B est vrai contraire à l'hypothèse. Donc A est faux.
conclusion : B faux ⇒ A faux
on a démontré que : non_B ⇒ non_A
question : A est vrai implique-t-il que B est vrai ( A ⇒ B ) ?
supposons que non_B soit vrai, on en déduit que non_A est vrai (ou A est faux) : contraire à l'énoncé A est vrai.
donc non_B est faux (ou B est vrai)
si (non_B ⇒ non_A) : A vrai entraîne nécessairement B vrai ( A ⇒ B )
pour la question du nombre fini de nombres premiers :
hypothèse : il y a un nombre fini "n" de nombres premiers.
E = p1 × . . . × pn + 1
il y a au moins 2 nombres premiers : 2 et 3
démontrons que E n'est pas un nombre premier : E ≥ 2 pmax + 1 > pmax démontrons que E est un nombre premier : le reste de la division de E par pi est toujours 1
E n'est pas premier et E est premier : impossible
autre démonstration classique : √2 est irrationel
supposons que √2 = a / b
avec a et b premiers entre eux (sans facteur commun après simplification)
⇒ 2 = a2 / b2
a2 = 2 b2 : 2 divise a donc 2 est un facteur premier de a : a = 2 α
4 α2 = 2 b2 ⇒ 2 α2 = b2 :
2 divise b donc 2 est un facteur premier de b
contraire à l'hypotèse : a / b a été simplifiée (ou a et b n'ont pas de facteur commun).
On en peut pas écrire √2 sous la forme d'un fraction :
√2 ∉ Q
A) démontrons que les nombres premiers sont en nombre infini.
supposons {p1, p2, . . . pn} tous les nombres premiers (ordonnés par ordre croissant)
soit E = p1 × p2 × . . . × pn + 1
p1 ≥ 2 ⇒ E ≥ 2 + 1 = 3
E > pn
E n'étant pas premier est divisible par un des n nombres premiers
or E = pj × ∏i≠j pi + 1
le quotient Euclidien de E par un des nombres premiers pj est ∏i≠j pi avec un reste de 1
E n'est divisible par aucun nombre premier
Nous avons une contradiction : E est simultanément divisible par un nombre premier et premier.
B) k ≥ 2 ; Mk = 2k − 1 (k-ième nombre de Mersenne)
1.a)
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Mk
3
7
15
31
63
127
255
511
1023
1.b) d'après les premiers résultats, on peut conjecturer que si k est premier, alors Mk est premier.
2.b) (2pq − 1) = (2p − 1) × Sq−1 Sq−1 est le quotient de (2pq − 1) par (2p − 1)
2.c) si k ≥ 2 n'est pas premier : il est le produit d'un nombre premier p par un autre nombre entier q soit : k = p q
alors Mk est divisible par (2p − 1) et (2q − 1) et n'est pas premier
3.a) M11 = 2047 = 23 × 89 n'est pas premier bien que 11 soit premier
3.b) la conjecture est fausse.
C) u0 = 4 ; un+1 = un2 − 2
1) u0 = 4 ; u1 = 14 ; u2 = 194 ; u3 = 37 634
M5 = 31 : n = 5 et un−2 = u3 = 37 634
37 634 / 31 = 1 214 avec un reste nul : u3 = 0 (modulo M5)
d'après le test de Lucas-Lehmer M5 est un nombre premier.
2) n ≥ 3
M prend la valeur 2n − 1
Pour i allant de 1 à n−2
u prend la valeur u × u − 2
Fin Pour
Si M divise u alors afficher "M est premier"
sinon afficher "M n'est pas premier"