• préalable : cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2
• équation de Δ : z = x + i/2 ⇒ β = 1/2
• arg(c) = π/3 ⇒ c = r e^{i π/3} = r (1/2 + i √3/2)
• α = r / 2
• β = r √3/2 = 1/2 ⇒ r = 1 / √3
• c = 1 / (2 √3) + i/2 = √3/6 + i/2
  c = (1 / √3) e^{i π/3}

• |Z| = 1 ⇔ M' ∈ Γ = cercle de centre 0 et de rayon 1

• f(c) = [i √3/6 − 3/2] / [√3/6 − i 3/2]
• On peut mettre f(c) sous la forme (x + i y) mais cela conduit à des calculs compliqués.
  préalable : |a / b| = |a| / |b|
  démonstration : |a / b|² = (a / b) (a / b) = (a a) / (b b) = |a|² / |b|²
• |f(c)|² = [(√3/6)² + (3/2)²] / [(√3/6)² + (3/2)²] = [(3/36) + (9/4)] / [(3/36) + (9/4)] = 1
• C' ∈ Γ

• f(z) ∈ Γ ⇔ |Z| = 1 ⇔ |i z − 1| / |z − 2 i| = 1
• posons : z = x + i y
  |i x − y − 1| / |x + i y − 2 i| = 1
• Comme le module est positif on peut l'élever au carré :
  |Z| = 1 ⇔ |i x − y − 1|² / |x + i y − 2 i|² = 1
  ⇔ [x² + (y + 1)²] / [x² + (y − 2)²] = 1
  ⇔ x² + (y + 1)² = x² + (y − 2)²
  ⇔ (y + 1)² = (y − 2)²
  ⇔ y² + 2 y + 1 = y² − 4 y + 4
  ⇔ 6 y = 3
  ⇔ y = 1/2 ⇔ z ∈ droite Δ
• f(z) ∈ Γ ⇔ z ∈ Δ (et z ≠ 2 i)

• Z = f(z) = [i (x + i y) − 1] / [(x + i y) − 2 i]
  f(z) = [i x − y − 1] / [x + i y − 2 i] = [− y − 1 + i x] / [x + i (y − 2)]
• Z réel ⇔ Z = Z ou partie imaginaire = 0
• Cas M(0, 2) soit z = 2 i : Z = f(z) = (i (2 i) − 1) / ((2 i − 2 i) = −3 / 0 infini ∉ ℜ
• Cas z ≠ 2 i : Z = Z
  f(z) = [− (y + 1) + i x] [x − i (y − 2)] / [x² + (y − 2)²] = [− x (y + 1) + x (y − 2) + i (x² + (y + 1)(y − 2))] / [x² + (y − 2)²]
  f(z) = [− x y − x + x y − 2 x + i (x² + y² − y − 2)] / [x² + (y − 2)²]
  f(z) = [− 3 x + i (x² + y² − y − 2)] / [x² + (y − 2)²]
• f(z) réel ⇔ x² + y² − y − 2 = 0
  x² + (y − 1/2)² − 1/4 − 2 = 0
  x² + (y − 1/2)² − 9/4 = 0
  x² + (y − 1/2)² = 9/4
  M ∈ Ω = cercle de centre (0 ; 1/2) et de rayon 3/2 moins le point B (0 ; 2)

amplitude = 0.001
init : (x,t,s,s-t,n)= (1.5, -1, -1, 0, 3)
étape 1 : (x,t,s,s-t,n)= (0.5, 0.375, 0.5, 0.125, 3)
étape 2 : (x,t,s,s-t,n)= (0.5, 0.4010416666666667, 0.4166666666666667, 0.015625, 5)
étape 3 : (x,t,s,s-t,n)= (0.5, 0.4046875, 0.40729166666666666, 0.002604166666666685, 7)
étape 4 : (x,t,s,s-t,n)= (0.5, 0.40531529017857143, 0.40580357142857143, 0.00048828125, 9)
---> remarque : t et s ont été intervertis dans l'étape 4
(t, s, n) = 0.405315290179 0.405803571429 9
à comparer à ln(1.5) 0.405465108108

amplitude = 1e-05
(t, s, n) = 0.40546372234 0.405468081994 15
à comparer à ln(1.5) 0.405465108108

n = 5 :
P(x) = (x-1) - (x-1)^2 / 2 + (x-1)^3 / 3 - (x-1)^4 / 4
(x-1) > 0
majorant s : g(x) = (x-1) - (x-1)^2 / 2 + (x-1)^3 / 3
minorant t : f(x) = (x-1) - (x-1)^2 / 2 + (x-1)^3 / 3 - (x-1)^4 / 4