23 avril 2016 : lois à densité   (répertoire)

• primitive : contraire de la dérivée
  (xⁿ) ' = n xⁿ⁻¹
  ∫ n xⁿ⁻¹ dx = xⁿ + constante
  F '(x) = f(x)   ⇔   ∫ f(x) dx = F(x) + constante
  C'est pourquoi en connaissant les dérivées, on connaît les primitives.
• intégrale : ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)
  c'est l'aire sous la courbe f(x) entre x=a et x=b (attention au signe "−" de l'aire sous l'axe Ox)
  
• lois à densité de probabilité f(x) :
  • loi f(x) : P(a < x < b) = ∫_a^b f(x) dx   (Aire sous la courbe)
  • loi uniforme : f(x) = 1/L sur [a ; a + L] et f(x) = 0 à l'extérieur
    Aire sous la courbe facile à calculer : surface du rectangle
  • loi normale centrée réduite : f(x) = 1/√2π e^−x2/2
    centre en 0 ; écart-type = 1
  • loi normale N(μ ; σ) : f(x) = 1/(σ√2π) e^{−((x − μ) / σ)2/2}
    on pose Z = (x − μ) / σ
    Loi Normale de Wikipédia
    F(x) à lire dans les tables ou sur la calculatrice : voir la notice de la calculatrice.
    loi normale sur calculatrice
• E(X) = ∫ x P(X=x) dx
  • Loi uniforme : P(X=x) = 1 / (b−a) pour a ≤ x ≤ b ; P(X=x) = 0 sinon
    E(X) = ∫ x / (b−a) dx = [x²/2]_a^b / (b−a)
    E(X) = (b² − a²) / [2 (b−a)] = (a + b) / 2
• V(x) = ∫ (x −E(X))² P(X=x) dx
  • V(X) = ∫ (x − (a + b)/2)² / (b−a) dx . . .
• Loi exponentielle : probabilité constante tant que l'évènement attendu ne s'est pas réalisé, puis nulle ensuite
  • radioactivité :
    Chaque atome radioactif possède une durée de vie qui suit une loi exponentielle.
    Le paramètre λ s'appelle alors la constante de désintégration.
    La durée de vie moyenne (1/λ) s'appelle le temps caractéristique = T / ln(2)   (avec T = période = demi-vie)
    Loi continue :
    densité de proba. : f(t) = dP/dt = λ e^{− λ t}
    en proba., on peut remplacer P ∈ [0 ; 1] par un grand N, ce qui est plus facile à se représenter.

    P(t)	désintégration	λ dt	P × λ dt	(= − dP)
    	rien	(1 − λ dt)	P + dP (avec dP < 0)	P + dP = P (1 − λ dt)   soit : dP/dt = − λ P

  • vérifications : ∫₀^∞ f(x) dx = 1 ?
    ∫₀^∞ λ e^{− λ x} dx = λ [e^{− λ x} / (− λ) ]₀^∞ = − [e^{− λ x}]₀^∞ = − [0 − 1] = 1
  • moyenne : E(x) = ∫₀^∞ x f(x) dx
    ∫₀^∞ x λ e^{− λ x} dx
    primitive : ∫ x e^{− λ x} = − (x + 1/λ) e^{− λ x}
    (− (x + 1/λ) e^{− λ x})' = − [1 + (x + 1/λ)(− λ)] e^{− λ x} = λ x e^{− λ x}
    E(x) = 0 − (− (0 + 1/λ) e^{− λ 0}) = 1/λ
  • variance : V(x) = ∫₀^∞ (x − 1/λ)² f(x) dx

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