14 septembre 2016 : suites et récurrence   [répertoire]

• conversion : 3 km en 36 minutes = ? km/h
• somme de suite :
  • suite (u_n) : u_n = F(n)
  • suite somme : U(n) = ∑₀ⁿ u_k = u₀ + u₁ + . . . + u_n
    donc U(n+1) = u₀ + u₁ + . . . + u_n + u_n+1 = U(n) + u_n+1
  • exemples :
    • somme de suite arithmétique : S(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n
      ⇒ S(n+1) = 1 + 2 + 3 + . . . + n + (n+1) = S(n) + (n+1)
      S(n) = n (n+1) / 2
    • somme de suite géométrique : S(n) = q⁰ + q¹ + q² + q³ + . . . + qⁿ
      ⇒ S(n+1) = q⁰ + q¹ + q² + q³ + . . . + qⁿ + qⁿ⁺¹ = S(n) + qⁿ⁺¹
      S(n) = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
    • somme des carrés : S(n) = 1² + 2² + 3² + . . . + n²
      ⇒ S(n+1) = 1² + 2² + 3² + . . . + n² + (n+1)² = S(n) + (n+1)²
      S(n) = n (n+1) (2n+1) / 6
      héritage : on admet l'expression de S(n) et on veut démontrer :
        S(n) = n (n+1) (2n+1) / 6   ⇒   S(n+1) = (n+1) ((n+1)+1) (2(n+1)+1) / 6 ?
      d'une part le membre de gauche : S(n+1) = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² = (n+1) [n(2n+1)/6 + (n+1)]
      d'autre part le membre de droite : (n+1) ((n+1)+1) (2(n+1)+1) / 6 = (n+1) (n+2) (2n+3) / 6
        On factorise le (n+1) que l'on trouve dans les 2 expressions ;
        pour le reste, on développe pour comparer :
      membre de gauche : S(n+1) = (n+1) [n(2n+1)/6 + (n+1)] = (n+1) [(2n²+n)/6 + (6n+6)/6] = (n+1) (2 n² +7 n + 6) / 6
      membre de droite : (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 = (n+1) [2 n² + 7 n + 6] / 6
      On constate que : S(n+1) = (n+1) ((n+1)+1) (2(n+1)+1) / 6
    • somme des impairs : S(n) = ∑₁ⁿ (2 k − 1) = n²
      • S(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2 n − 1)
      • initialisation :
        d'une part : S(1) = (2×1 − 1) = 1
        d'autre part : (1)² = 1
        la formule S(n) = n² est vérifiée pour n = 1
      • hérédité : on suppose que S(n) = n² ; on doit démontrer que S(n+1) = (n+1)²
        S(n+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + (2 n − 1) + (2 (n+1) − 1) = S(n) + (2 n + 1)
        S(n+1) = S(n) + (2 n + 1) = n² + 2 n + 1 = (n+1)²
      • conclusion : la formule S(n) = n² est vraie ∀ n ≥ 1
    • somme des cubes : S(n) = 1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ = [n (n+1) / 2]²
      • initialisation : vérification de la relation pour n = 1
        d'une part : n = 1 → S(1) = 1³ = 1
        d'autre part : [n (n+1) / 2]² = [1 × (1+1) / 2]² = 1² = 1
      • hérédité : on suppose que S(n) = [n (n+1) / 2]² ; on doit démontrer que S(n+1) = [(n+1) (n+2) / 2]²
        S(n+1) = 1³ + 2³ + 3³ + . . . + n³ + (n+1)³ = S(n) + (n+1)³
        S(n+1) = [n (n+1) / 2]² + (n+1)³ = n² (n+1)² / 4 + (n+1)² (n+1) = (n+1)² [n² / 4 + (n+1)] = (n+1)² [n² + 4 n + 4] / 4 = (n+1)² (n+2)² / 4 = [(n+1) (n+2) / 2]²
      • conclusion : la formule S(n) = [(n+1) (n+2) / 2]² est vraie ∀ n ≥ 1
• suite définie par récurrence : u_n+1 = (5 u_n − 1) / (u_n + 3) avec u₀ = 2
  • démontrer que u_n = (8 + n) / (4 + n)
  • initialisation : n = 0
    d'une part : u₀ = 2 d'après l'énoncé
    d'autre part : (8 + n) / (4 + n) = 2
  • hérédité : on suppose u_n = (8 + n) / (4 + n) ; on doit démontrer que u_n+1 = (8 + n+1) / (4 + n+1)
    d'une part : u_n+1 = (5 u_n − 1) / (u_n + 3)
    u_n+1 = (5 (8 + n) / (4 + n) − 1) / ((8 + n) / (4 + n) + 3)
    on multiplie le numérateur et le dénominateur par (4 + n) pour éliminer les fractions
    u_n+1 = (5 (8 + n) − (4 + n)) / ((8 + n) + 3 (4 + n))
    u_n+1 = (40 + 5 n − 4 − n) / (8 + n + 12 + 3 n)
    u_n+1 = (36 + 4 n) / (20 + 4 n) = (9 + n) / (5 + n)
    d'autre part : (8 + n+1) / (4 + n+1) = (9 + n) / (5 + n)
  • conclusion : la formule u_n = (8 + n) / (4 + n) est vraie ∀ n ≥ 0
• Refaire la démonstration par récurrence pour la suite : u_n+1 = (2 u_n − 3) / (3 u_n − 4)   avec u₀ = 2
  démontrer par récurrence que : u_n = (2 − 3 n) / (1 − 3 n)
  dans la partie hérédité, ajouter la ligne : on veut démontrer : u_n+1 = (2 − 3 (n+1)) / (1 − 3 (n+1))
  d'une part : u_n+1 = . . .
  d'autre part : (2 − 3 (n+1)) / (1 − 3 (n+1)) = . . .
  on constate que u_n+1 = (2 − 3 (n+1)) / (1 − 3 (n+1))
• démontrer une inéquation par récurrence :
  • (1+a)ⁿ > 1 + na ?
  • soit u_n+1 = (u_n + a/u_n) / 2 avec u₀ > √a
    C'est la suite qui permet de calculer √a dans les calculatrices.
    u_n ≥ √a ⇒ u_n+1 > √a ?
    on posera : u_n = √a = x avec x > 0
    il faudra factoriser √a dans les expressions.

retour aux menus : cours 2016     math TS     math