21 septembre 2016 : suites et récurrence   [répertoire]

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  sur les suites avec 10 exercices (dont limites)
  (mieux adapté au programme français que la Khan academy)
• définition de suites par récurrence :
  • suite arithmétique de raison r : u_n+1 = u_n + r
    u_n = u₀ + n r
  • suite géométrique de raison q : u_n+1 = q u_n
    u_n = qⁿ u₀
  • suite arithmético-géométrique : u_n+1 = q u_n + r
    changement de suite : v_n = u_n − L qui est une suite géométrique de raison q
  • somme de suite arithmétique : S_n+1 = S_n + u₀ + (n+1) r
    cas particulier : u₁ = 1 et r = 1 : S_n+1 = S_n + (n+1)
    alors, S_n = n (n+1) / 2
  • somme de suite géométrique : S_n+1 = S_n + qⁿ⁺¹ u₀
    cas particulier : u₀ = 1 : S_n+1 = S_n + qⁿ⁺¹
    alors, S_n = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
  • suite quelconque : u_n+1 = f(u_n)
    soit : L = f(L)
    si f '(x) > 0 : la suite sera monotone et restera du même côté de L
    • croissante si ses 2 premiers termes sont croissants : u₀ < u₁
    • décroissante si ses 2 premiers termes sont décroissants : u₀ > u₁
    • inférieure à L si son premier terme u₀ < L
    • supérieure à L si son premier terme u₀ > L
• apprendre à calculer les termes d'une suite avec la calculatrice.
• sens de variation : suite u_n+1 = f(u_n)
  • si f(x) est strictement croissante, soit : a < b ⇔ f(a) < f(b)
  • initialisation : vérifier : u₀ < u₁ ou u₀ > u₁
  • héritage : u_n < u_n+1 ⇔ f(u_n) < f(u_n+1)
    soit u_n+1 < u_n+2
    de même u_n > u_n+1 est hérité au rang n+1
  • conclusion : u₀ < u₁ ⇒ la suite (u_n) est croissante
    u₀ > u₁ ⇒ la suite (u_n) est décroissante
• encadrement : suite u_n+1 = f(u_n)
  • soit L = f(L) (seule limite possible)
  • si f(x) est strictement croissante, soit : a < b ⇔ f(a) < f(b)
  • initialisation : vérifier : u₀ < L
  • héritage : u_n < L ⇔ f(u_n) < f(L)
    soit u_n+1 < L
    de même u_n > L est hérité au rang n+1
  • conclusion : u₀ < L ⇒ la suite (u_n) est majorée par L : u_n < L
    u₀ > L ⇒ la suite (u_n) est minorée par L : u_n > L
• limites quand n → ∞ :
  • soit une suite géométrique (u_n+1 = q u_n) de raison q :
    u_n → 0 si |q| < 1
    u_n → ∞ si q > 1 (et u_n > 0)

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