28 septembre 2016 : suites et récurrence   [répertoire]

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  sur les suites avec 10 exercices (dont limites)
  (mieux adapté au programme français que la Khan academy)
• unités : quand l'énoncé donne des unités m, dm, . . . vérifier que toutes les données sont bien dans les mêmes unités. (piège)
  − 1 + 0,5 = − 0,5     (car 0,5 = la moitié de 1)
  − 1 / 100 = − 0,01     (car 100 = 10² donc 1/100 = (1/10)/10 = 0,1/10 = 0,01)
  1 / 0,1 = 10   (pour le voir, on multiplie par 10 en haut et en bas)
• étude du signe d'une fonction (ou de sa dérivée) :     détermination du signe ⇒ factorisation
  • ou bien la fonction est de la forme : f(x) = a x + b     et on peut répondre directement
  • ou encore de la forme : f(x) = a x² + b x + c     et on peut répondre après avoir calculé les racines (ou leur absence)
    mais on peut aussi factoriser en termes (a x + b)
  • sinon, il faut factoriser la fonction.
    s'il y a un dénominateur, mettre le dénominateur en commun est une forme de factorisation (qui est indispensable).
• exercice 4 du bac Antilles Guyane 2015 :
  • u_n+1 = 0,5 u_n + 0,5 n − 1,5 = 0.5 (u_n + n − 3)
  • on ne peut jamais démontrer qu'une suite est décroissante à partir de quelques termes, on pourrait seulement faire une conjecture.
  • croissance de la suite pour n ≥ 3 : soit P_n la relation : u_n+1 > u_n
    • initialisation : u₃ = − 0.75 et u₄ = − 0.375
      on constate que u₃ < u₄ : vrai pour n = 3
    • hérédité : hypothèse : u_n+1 > u_n   ou   u_n+1 − u_n > 0
      on souhaite démontrer P_n+1   soit : u_n+2 − u_n+1 > 0
      • méthode classique plus astucieuse pour l'hérédité de la croissance : (combinaison)
        pour une suite de la forme : u_n+1 = a u_n + b n + c
        on établit une récurrence sur la différence de (u_n+1 − u_n) :

        un+2	=	a un+1	+ b (n+1)	+ c		| × 1
        un+1	=	a un	+ b n	+ c		| × −1
        (un+2 − un+1)	=	a (un+1 − un)	+ b

        Si a > 0 et b > 0, alors : u_n+1 − u_n > 0 ⇒ u_n+2 − u_n+1 > b > 0
      • méthode naturelle : (substitution : on ramène tout à u_n)
        u_n+1 − u_n = 0,5 u_n + 0,5 n − 1,5 − u_n
        u_n+1 − u_n = − 0,5 u_n + 0,5 n − 1,5
        u_n+1 − u_n = 0.5 (− u_n + n − 3) > 0
        (remarque : on en déduit que : n − 3 > u_n)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (− u_n+1 + n+1 − 3)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (− u_n+1 + n − 2)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (− (0,5 u_n + 0,5 n − 1,5) + n − 2)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (− 0.5 u_n − 0.5 n + 1.5 + n − 2)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (− 0.5 u_n + 0.5 n − 0.5)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.25 (− u_n + n − 1)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.25 (− u_n + n − 3 + 2)
        u_n+2 − u_n+1 = 0.5 (u_n+1 − u_n) + 0.5
        u_n+2 − u_n+1 > 0.5 × 0 + 0.5 > 0.5 > 0
  • suite auxiliaire (v_n). Démontrer qu'elle est géométrique :
    v_n = 0.1 u_n − 0.1 n + 0.5 = 0.1 (u_n − n + 5)
    ⇒ u_n = v_n/0.1 + n − 5 = 10 v_n + n − 5
    v_n+1 = 0.1 (u_n+1 − (n+1) + 5)
    v_n+1 = 0.1 (u_n+1 − n + 4)
    v_n+1 = 0.1 ( 0.5 (u_n + n − 3) − n + 4)
    v_n+1 = 0.1 ( 0.5 ( 10 v_n + n − 5 + n − 3) − n + 4)
    v_n+1 = 0.1 ( 0.5 (10 v_n + 2 n − 8) − n + 4)
    v_n+1 = 0.1 ( (5 v_n + n − 4) − n + 4)
    v_n+1 = 0.1 ( 5 v_n )
    v_n+1 = 0.5 v_n
  • en déduire la forme explicite de (u_n)
    v_n = 0.5ⁿ v₀
    v₀ = 0.1 (u₀ − n + 5) = 0.1 (5 − 0 + 5) = 1
    v_n = 0.5ⁿ
    u_n = 10 (0.5ⁿ) + n − 5

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