5 octobre 2016 : dérivées   [répertoire]

• Il faut absolument consulter le site :
  • assistancescolaire.com toutes les matières, des exercices
    (détail : il faut s'inscrire gratuitement)
  • pour réviser les suites : Suites (avec exercices)
  • pour les dérivées : Dérivation (avec exercices)
• dérivées de : a, ax+b, xⁿ, 1/xⁿ, √x, sin(x), cos(x), e^x, ln(x)
  • → 0, a, n xⁿ⁻¹, −n/xⁿ⁺¹, 1/(2 √x), cos(x), −sin(x), e^x, 1/x
  • rappels préliminaires :
    • 1/xⁿ = x⁻ⁿ
    • √x = x^1/2
  • (a)' = 0   ;  
    (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u'   (valable quelque soit n ∈ R)
  • formulaire des dérivées (à apprendre par coeur)
• fonctions composées :
  • f(x) = f(u(x)) : df/dx = df/du × du/dx = df/du × u'
    • exemple :
      f(x) = (x² + 1)ⁿ = uⁿ avec u = x² + 1 et u' = 2x
      f '(x) = n uⁿ⁻¹ u' = n (x² + 1)ⁿ⁻¹ 2x
    • dérivées : au+b, uⁿ, 1/uⁿ, √u, sin(u), cos(u), e^u, ln(u)
      → a u', n uⁿ⁻¹u', −n u'/uⁿ⁺¹, u'/(2 √u), cos(u)u', −sin(u)u', e^uu', u'/u
  • (u + v)' = u' + v'
  • (u v)' = u' v + u v'
    remarque : (u v w)' = u' v w + u v' w + u v w'
  • (u / v)' = (u' v − u v') / v²     (le signe moins devant u v' car 1/v = v⁻¹)
• variation d'une fonction f(x)
  • détermination du signe de sa dérivée f '(x) : factorisation de la dérivée
  • ou bien la fonction est de la forme : f '(x) = a x + b     et on peut répondre directement
  • ou encore de la forme : f '(x) = a x² + b x + c     et on peut répondre après avoir calculé les racines (ou leur absence)
    mais on peut aussi factoriser en termes (a x + b)
  • sinon, il faut factoriser la fonction.
    s'il y a un dénominateur, mettre le dénominateur en commun est une forme de factorisation
  • Faire un tableau de signes pour les facteurs de f '(x), avec une ligne pour le signe de f '(x), puis une ligne pour la variation de f(x)

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