16 novembre 2016 : limites de suites   [répertoire]

• assistancescolaire.com
  • → pour réviser les suites : Suites (avec exercices)
  • → pour les dérivées : Dérivation (avec exercices)
• limites :
  • limite(u_n + v_n) = limite(u_n) + limite(v_n)
    limite(u_n − v_n) = limite(u_n) − limite(v_n)
    limite(u_n × v_n) = limite(u_n) × limite(v_n)
    limite(u_n / v_n) = limite(u_n) / limite(v_n)
  • limite quand x → ±∞ de P(x) / Q(x) = limite du rapport des termes de plus haut degré
    • exemple 1 : limite de (a x² + b x + c) / (α x² + β x + γ)
      se comporte comme ∞ / ∞ : c'est une forme indéterminée.
      on lève l'indétermination en divisant par x² :
        = limite de (a + b/x + c/x²) / (α + β/x + γ/x²) → (a + 0 + 0) / (α + 0 + 0) = a / α
    • exemple 2 : limite de (a x³ + b x + c) / (α x² + β x + γ)
      se comporte comme ∞ / ∞ : c'est une forme indéterminée.
      on lève l'indétermination en divisant par x² :
        = limite de (a x + b/x + c/x²) / (α + β/x + γ/x²) = limite de (a x + 0 + 0) / (α + 0 + 0) = a ∞ / α = ∞ (avec le signe de : a/α)
    • table des limites (à savoir). Les formes indéterminées peuvent prendre n'importe quelle valeur de 0 à ±∞
      on lève l'indétermination en simplifiant par le terme qui provoque l'indétermination
      exemple avec les dérivées : f'(x) = limite de (f(x+h) − f(x)) / h quand h → 0 : de la forme 0 / 0
        quand on simplifie par h, la forme devient déterminée

      	0	a	∞
      0	0 × 0 = 0 0 / 0 = indéterminé	0 × a = 0 0 / a = 0	0 × ∞ = indéterminé 0 / ∞ = 0
      b	b × 0 = 0 b / 0 = ∞	b × a = b a b / a = b/a	b × ∞ = ∞ b / ∞ = 0
      ∞	∞ × 0 = indéterminé ∞ / 0 = ∞	∞ × a = ∞ ∞ / a = ∞	∞ × ∞ = ∞ ∞ / ∞ = indéterminé

  • ordre des fonctions à l'infini : α > 1 et n → ∞
    les fonctions suivantes tendent vers +∞ quand n → ∞ de plus en plus rapidement :
    ln(n) < n^1/α < n < n^α < αⁿ
    exemple : limite √n < n
        limite(√n < n) = limite(1 / √n) = 0
  • dans une fraction, il faut mettre la fonction croissant le plus rapidement à l'infini en facteur : (α > 1)
    exemple : limite (2 ln(n) + 3 n^1/α + 4 n + 5 n^α + 6 αⁿ) / βⁿ = αⁿ [ 6 + 5 n^α/αⁿ + 4 n/αⁿ + 3 n^1/α/αⁿ + 2 ln(n)/αⁿ ]/ βⁿ
    = limite αⁿ [ 6 + 0 + 0 + 0 + 0 ] / βⁿ
    = limite 6 (α/β)ⁿ = ∞ si (α/β) > 1
    = limite 6 (α/β)ⁿ = 0 si |α/β| < 1
    = limite 6 (α/β)ⁿ : n'a pas de limite si (α/β) < −1
  • Attention : si |q| < 1 : qⁿ → 0   (car on multiplie toujours par un nombre < 1)
  • Si limite √u_n − √v_n est indéterminée (∞ − ∞)
    astuce : on multiplie par l'expression conjuguée : √u_n + √v_n
                  qui, elle, n'est pas indéterminée : ∞ + ∞ = ∞
    limite √u_n − √v_n = limite (√u_n − √v_n) (√u_n + √v_n) / (√u_n + √v_n)
    = (u_n − v_n) / (√u_n + √v_n)
• somme d'une suite géométrique :
  s_n = 1 + q + . . . + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)
  si |q| < 1 : limite (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q) = (1 − 0) / (1 − q) = 1 / (1 − q)

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