30 novembre 2016 : DM suites   [répertoire]

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    Analyse, Probabilités, Suites, Algorithmique, Géométrie, Complexes
• DM exercice "ligne brisée", j'aurais été plus concis :
  • calcul de u_n :
    nombre de longueurs = 2 n
    longueur d'un côté = 1/n
    longueur totale : u_n = 2 n * 1/n = 2
    (u_n) est une suite constante de valeur 2
    lim_x→∞ u_n = 2
  • calcul de v_n :
    nombre de triangles = n
    longueur d'un côté = 1/n
    surface d'un triangle = 1/n × 1/n / 2 = 1/(2 n²)
    surface totale : v_n = n × 1/(2 n²) = 1/(2n)
    lim_x→∞ v_n = 1/∞ = 0
  • remarque : la courbe brisée tend vers la ligne AB
    pourtant la courbe brisée a une longueur de 2, alors que AB a une longueur de racine(2) !
• DM exercice "de saison" :
  • comme il est plus compliqué, on commence par calculer les premiers termes (pour les raisons suivantes)
    1) car les résultats de u₁ et v₁ sont donnés dans l'énoncé,
      ce qui permet de s'assurer que l'on a bien compris l'énoncé et de vérifier ses calculs.
    2) les premiers termes calculés permettrons de vérifier les formules finales en fonction de n
  • n = 1 :
    • périmètre u₁ = 3
      nombre de côtés : c₁ = 3 ; longueur des côtés : L₁ = 1
    • surface v₁ :
      1 triangle de surface : S = a h / 2
      avec : a = 1 et h = a √3/2 = √3/2
      v₁ = S₁ = 1 × √3/2 × 1/2 = √3/4
  • n = 2 :
    • périmètre u₂ :
      chaque côté de longueur 1 se transforme en 4 côtés de longueur : L₂ = 1/3
      nombre de côtés : c₂ = 3 × 4 = 12 ; longueur des côtés : L₂ = 1 × 1/3 = 1/3
      u₂ = 12 × 1/3 = 12/3 = 4
    • surface : v₂ = v₁ + 3 petits triangles
      surface d'un petit triangle : S₂ = (1/3) × (1/3 * √3/2 ) / 2 = (1/3)² √3/4 = √3/(4 × 9) = √3 / 36
      surface totale : v₂ = S₁ + 3 × S₂ = √3/4 + √3/12 = 4 √3/12 = √3 / 3
  • maintenant que l'on commence à voir comment la figure se transforme, on peut essayer de calculer u_n et v_n
    c'est seulement maintenant que l'on peut vraiment choisir les variables utiles : c_n, L_n, S_n
    • périmètre u_n = nombre de côtés × longueur des côtés = c_n L_n
      à chaque étape, le nombre de côtés est multiplié par 4 et leur longueur divisée par 3
      c_n+1 = 4 c_n
      L_n+1 = L_n / 3
      u_n+1 = c_n+1 L_n+1 = u_n × 4 / 3
      (u_n) est une suite géométrique de raison q = 4/3
      u₁ = 3 ; u_n = u₁ qⁿ⁻¹ = 3 (4/3)ⁿ⁻¹
      comme q > 1 : la suite tend vers +∞
      lim_n→∞ u_n = ∞
    • surface v_n = surface précédente + nombre de côtés précédents × surface des petits triangles ajoutés
      à chaque côté de l'étape précédente (n−1), on ajoute un triangle de côté L_n
      v_n+1 = v_n + c_n S_n+1
      suite (c_n) : c₁ = 3 ; c_n+1 = 4 c_n ⇒ c_n = 3 × 4ⁿ⁻¹
      suite (L_n) : L₁ = 1 ; L_n+1 = L_n / 3 ⇒ L_n = 1 / 3ⁿ⁻¹
      suite (S_n) : S_n = a h / 2 = [ L_n × L_n √3/2 ] / 2 = √3 / (4 × 3²ⁿ⁻²)
      v_n+1 = v_n + 3 × 4ⁿ⁻¹ √3 / (4 × 3²ⁿ)
      v_n+1 = v_n + 3 √3/16 × (4/9)ⁿ
      cela ressemble à la somme d'une suite géométrique de raison : q = 4/9
      posons : v_n+1 = v_n + a qⁿ pour simplifier :

      	v1 =	v1
      	v2 =	v1	+ a q1
      	v3 =	v2	+ a q2
      	. . .
      	vn =	vn−1	+ a qn−1
      Somme :	vn =	v1	+ a (q1 + q2 + q3 + . . . + qn−1)

      Soit : v_n = v₁ + a (q¹ − qⁿ) / (1 − q)
      en remplaçant : v_n = √3/4 + 3 √3/16 ((4/9)¹ − (4/9)ⁿ) / (1 − (4/9))
      limite de (4/9)ⁿ = 0 quand n → ∞
      d'où : limite v_n = √3/4 + 3 √3/16 (4/9) / (1 − (4/9))
      limite v_n = √3/4 + 3 √3/16 (4/9) / (5/9)
      limite v_n = √3/4 + 3 (√3/4) / 5
      limite v_n = √3/4 + 3 √3 / 20
      limite v_n = 5 √3/20 + 3 √3 / 20
      limite v_n = 8 √3/20
      limite v_n = 2 √3 / 5 quand n → ∞

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