Cours du 22 février 2017 : nombres complexes   [répertoire]

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  • exercices sur les complexes
  • fiche sur les complexes
  • contrôle
  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
• domaines de définition des fonctions trigo. :
  • sin(x) et cos(x) sont définies sur R   en effet : sin(1000) est bien défini . . .
    ces 2 fonctions sont périodiques de période 2π, c'est pourquoi on limite leur étude à l'intervalle [0 ; 2π[
  • par contre tan(x) est défini sur R − {π/2 + k π avec k ∈ Z}
    les valeurs interdites sont celles pour lesquelles cos(x) = 0 puisque tan(x) = sin(x) / cos(x)
    la fonction tan(x) est périodique de période π : on va l'étudier sur ]−π/2 ; π/2[
• dérivées des fonctions trigonométriques :
  • f(x) = x cos(x) − sin(x)
    • f(x) = u v − sin(x) avec u = x et v = cos(x)
      u' = 1 et v' = −sin(x)
    • f '(x) = u' v + u v' − cos(x) = 1 cos(x) + x (−sin(x)) − cos(x) = − x sin(x)
  • f(x) = tan(x) = sin(x) / cos(x)
    • f(x) = u/v avec u = sin(x) et v = cos(x)
      u' = cos(x) et v' = −sin(x)
    • f '(x) = (u' v − u v') / v² = [ cos(x) cos(x) − sin(x) (−sin(x)) ] / cos²(x)
      f '(x) = [ cos²(x) + sin²(x) ] / cos²(x) = 1 / cos²(x)
      f '(x) = 1 / cos²(x) = 1 + tan²(x)
• formules trigonométriques faciles avec les complexes :
  • soit les 2 points sur le cercle trigo. : (leurs modules valent 1)
    M (cos α, sin α) d'affixe z_M = cos α + i sin α
    N (cos β, sin β) d'affixe z_N = cos β + i sin β
  • (cos α + i sin α) (cos β + i sin β) = [cos α cos β − sin α sin β] + i [cos α sin β + sin α cos β]
    = cos(α + β) + i sin(α + β)
  • en utilisant les 2 formules :
    cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
    sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
• complexes : z = x + i y avec i² = −1
  • conjugué de z : z = x − i y
    pour prendre la conjugiée d'une expression : on remplace tous les i par −i
  • carré du module de z : |z|² = z z = (x + i y) (x − i y) = x² − (i y)² = x² + y²
  • élimination des complexes au dénominateur : 1 / (x + i y) = (x − i y) / (x² + y²)
  • trigonométrie : x = ρ cos(α)   et   y = ρ sin(α)
    carré du module |z| de z : ρ² = x² + y²     soit : ρ = √x² + y²
    angle avec l'axe des réels : tan(α) = sin(α) / cos(α) = y / x
  • géométrie 2D : point M (x, y) d'affixe z = x + i y = ρ (cos(α) + i sin(α))
    coordonnées polaires : M (ρ α) tels que : ρ = √x² + y² et tan(α) = y / x
    Mais tan(α) donne 2 angles dans [0;2π[ : il faut utiliser : cos(α) = x / ρ ou sin(α) = y / ρ pour déterminer l'angle de manière unique.
    réviser le cercle trigonométrique
  • une équation de degré n possède n solutions dans C
    si l'équation a des coefficients réels, les racines sont complexes sont conjuguées deux à deux
    équation du second degré dans C : si Δ = −5 = (i √5)² permet de calculer la racine complexe avec √Δ = i √5
• équations du second degré : f(z) = a z² + b z + c   avec (a, b, c) réels
  • si Δ > 0 : 2 racines réelles distinctes. f(x) = a (z − z₁) (z − z₂)
  • si Δ = 0 : 1 racine réelle double. f(x) = a (z − z₁)²
  • si Δ < 0 : 2 racines complexes conjuguées. f(x) = a (z − z₁) (z − z₁)
    pour calculer √Δ, on remplace Δ par i² Δ'   avec Δ' > 0
    √Δ = i √Δ'
    on a alors : z = (−b ± i √Δ') / (2 a)
• équation du 4^ème degré pouvant se ramener à une équation du second degré :
  • équation bicarrée : a z⁴ + b z² + c = 0
    • on effectue le changement de variable : U = z²
      l'équation devient : a U² + b U + c = 0
      on calcule les racines U₁ et U₂
    • Il faut maintenant calculer les racines de l'équation en z :
      U₁ = z²   va nous donner 2 racines en z
      U₂ = z²   va nous donner 2 racines en z
  • équation symétrique : a z⁴ + b z³ + c z² + b z + a = 0
    • si a ≠ 0 : z = 0 n'est pas une racine de l'équation. On peut diviser par z²
      a z² + b z + c + b / z + a / z² = 0
      a (z² + 1 / z²) + b (z + 1 / z) + c = 0
    • on effectue le changement de variable : U = z + 1 / z
      U² = z² + 2 + 1 / z²
      d'où : z² + 1 / z² = U² − 2
      l'équation devient : a (U² − 2) + b U + c = 0
      a U² + b U + c − 2 a = 0
      on calcule les racines U₁ et U₂
    • Il faut maintenant calculer les racines de l'équation en z :
      U₁ = z + 1 / z devient : z² − U₁ z + 1 = 0   va nous donner 2 racines en z
      U₂ = z + 1 / z devient : z² − U₂ z + 1 = 0   va nous donner 2 racines en z
• supplément : calculer la racine carrée d'un nombre complexe : z² = a + i b   (2 solutions)
  • à partir de la forme cartésienne : z = x + i y
    • ⇒   z² = x² − y² + 2 i x y = a + i b
      égalité des parties réelles : x² − y² = a
      égalité des parties imaginaires : 2 x y = b   ⇒   y = b / (2 x)
    • en substituant y dans la première équation, on obtient l'équation :
      x² − b² / (4 x²) = a
      x⁴ − a x² − b² / 4 = 0
    • équation bicarrée U = x² . . . ce qui donne 4 solutions (dont 2 qu'il faudra éliminer)
  • à partir de la forme polaire : z = ρ (cos θ + i sin θ)
  • z² = ρ² [cos(2θ) + i sin(2θ)] = a + i b
    ρ² = √a² + b²   soit ρ = (a² + b²)^1/4
    tan(2θ) = b / a     θ = atan(b / a) / 2 + k π/2
    l'angle θ est défini à k π/2 près : 4 solutions (dont 2 qu'il faudra éliminer) en utilisant le signe de cos θ ou de sin θ

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