Cours du 01 mars 2017 : bac blanc

Cours du 01 mars 2017 : bac blanc [répertoire]

Pour préparer les exercices avec le site : www.lyceedadultes.fr
- exercices sur les complexes
- fiche sur les complexes
- contrôle
- révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
nombres complexes : z = x + i y
- (module)² = |z|² = z z = x² + y²
- Points du cercle trigo. :
  - (1 + i √3) / 2 = (1/2) + i (√3/2) = cos(π/3) + i sin(π/3)
  - (√3 + i) / 2 = (√3/2) + i (1/2) = cos(π/6) + i sin(π/6)
  - (√2/2) (1 + i) = cos(π/4) + i sin(π/4)
- z_n+1 = 1 − 1/z_n
  - calculable à la calculatrice : z₀ = i ⇒ z₁ = 1 − 1/z₀ = 1 − 1/i = 1 + i
    TI82 : 1−1/i [entrer] → 1+i
    1 − 1 / [2nde][rép] [entrer] → 1 − 1 / Rép → 0.5+0.5i (Réponse=Answer)
    [2nde][précéd] → 1 − 1 / Rép [entrer] → i
  - ou plus simplement :
    i [entrer] → i
    1 − 1 / Rép [entrer] → 1+i
    [entrer] que l'on répète autant de fois que l'on veut
étude de fonction :
- dérivée graphique : coefficient directeur de la tangente à la courbe
  si la courbe "monte" (est croissante), sa dérivée est positive
  la dérivée est d'autant plus grande que la courbe monte beaucoup
  exemple graphique : √x a une dérivée infinie en x=0, qui diminue ensuite
  la dérivée est nulle pour un maximum ou un minimum.
- signe de la dérivée : il faut factoriser la dérivée pour étudier son signe
  - dérivée de f(x) = A x e^−x = A u v (avec u = x et v = e^−x)
    u' = 1 et v' = −e^−x
  - f '(x) = A (u' v + u v') = A (e^−x − x e^−x)
  - Pour étudier le signe de f '(x), il faut le factoriser en expressions du premier ou second degrés
    facteur commun à tous les éléments de la somme : e^−x
    f '(x) = A e^−x (1 − x)
  - on sait déterminer le signe de chaque facteur : A est une constante positive
    une exponentielle est toujours positive : e^−x > 0
    (1 − x) est négative quand x → +∞ ; s'annule pour x = 1 et positive quand x → −∞

fonction exponentielle : constante e ≈ 2,71828 [avec la machine faire exp(1) = e¹ = e]

e^x > 0
e^−x = 1 / e^x
e⁰ = 1 et e¹ = e donc e⁻¹ = 1/e
quand x → −∞ : limite e^x = 0 ;
quand x → +∞ : limite e^x = +∞
e^x × e^y = e^x+y
(e^x)^y = e^xy
et pour le calcul des limites :
e^x + e^y = e^x (1 + e^y−x)

limite de fonction quand x → +∞ :

ordre de croissance en x → +∞
du plus grand au plus petit :
e^x > x³ > x² > x > √x > ³√x > ln(x)
exemples : quand x → +∞
lim e^x / xⁿ = +∞
lim xⁿ / e^x = 1 / +∞ = 0

TVI = Théorème des Valeurs Intermédiaires :
- si une fonction f(x) est continue sur un intervalle ] a ; b [
- si c ∈ ] f(a) ; f(b) [, alors ∃ α ∈ ] a ; b [ tel que f(α) = c
- remarque : il peut y avoir plusieurs valeurs α_i de ] a ; b [ telles que f(α_i) = c
  mais il y en a au moins une.
- Exemple : démontrer qu'il existe une solution à l'équation e^x = 2
  - 1) la fonction exponentielle est continue sur R : on opeut lui appliquer le Théorème des Valeurs Intermédiaires
  - pour x = 0 : e⁰ = 1 < 2
  - pour x = 1 : e¹ = e ≈ 2,71828 > 2
  - d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires, il existe une solution x=α à l'équation telle que α ∈ ]0, 1[
  - Remarque : on ne demandait pas la valeur de α, seulement son existence
    il ne peut pas y avoir d'autres solutions car la fonction exponentielle est toujours croissante
    elle ne peut donc pas redescendre couper la droite y = 2

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