Cours du 08 mars 2017 : logarithme néperien   [répertoire]

• Pour préparer les exercices avec le site : www.lyceedadultes.fr
  • exercices sur la fonction ln(x)
  • fiche sur ln(x)
  • fiche fonctions
  • contrôle
  • révisions (tout ce qu'il faut savoir en terminale S)
• s'entraîner à placer les angles sur le cercle trigo. (faire une fiche)
  cercles trigo. à imprimer
• réviser les dérivées (faire une fiche)
  • (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹   et (uⁿ)' = n uⁿ⁻¹ u'
  • (ln(x))' = 1/x   et (ln(u))' = u'/u
  • f(x) = g(u(x))   ⇒   f '(x) = df/dx = dg/dx = dg/du × du/dx = g'(u) × u'(x)
    exemple : f(x) = ln(x²+1) = ln(u(x)) avec u(x) = x²+1 et u'= 2x
    f '(x) = u'/u = 2 x / (x² + 1)
• logarithme néperien : constante e ≈ 2,71828

  domaine de définition : ] 0 ; ∞ [ fonction inverse d'exponentielle : x →→exp→→ y = ex →→ln→→ x = ln(y) ln(ex) = x ln(e) = x eln(x) = x valeurs particulières : ln(1) = 0   ;   ln(e) = 1 ln(e2) = 2 ln(e) = 2   ;   ln(1/e) = − ln(e) = −1 limites : ln(0) → −∞ ; ln(∞) = ∞ ln(x) est la fonction qui croît le moins vite vers l'infini propriétés : ln(ab) = ln(a) + ln(b)                     ln(ab) = b ln(a)

• logarithme décimal : log(x) = ln(x) / ln(10)
  log(x) est la fonction inverse de 10^x = (e^ln(10))^x = e^{x ln(10)}
• résolution d'équations :
  • e^x = 2
    comme ln(x) est croissante : a = b ⇔ ln(a) = ln(b)
    ln(e^x) = ln(2)
    x = ln(2) ≈ 0,69
  • 2^x = 5
    ln(2^x) = ln(5)
    x ln(2) = ln(5)
    x = ln(5) / ln(2)
• résolution d'inéquations : qⁿ < 10⁻⁵ avec q = 0,8 et n entier
  comme ln(x) est croissante : a < b ⇔ ln(a) < ln(b)
  ln(0,8ⁿ) < ln(10⁻⁵)
  n ln(0,8) < −5 ln(10)
  ATTENTION : ln(0,8) < 0 car 0,8 < 1 ! changement du sens de l'inéquation
  n ln(0,8) /ln(0,8) > −5 ln(10) / ln(0,8)
  n > −5 ln(10) / ln(0,8) ≈ 51,6
  n étant un entier : n ≥ 52
  vérification : 0,8⁵¹ ≈ 0,000011 > 10⁻⁵ > 0,8⁵² ≈ 0,0000091

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